Các dạng bài tập toán hình học thi vào lớp 10 THPT

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i 
H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Lêi gi¶i: 
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
Ð CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
Ð CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Mµ Ð CEH vµ Ð CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 
Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900.
CF lµ ®­êng cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900.
Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.
VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: Ð BEC = Ð ADC = 900 ; ÐC lµ gãc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta cã ÐC1 = ÐA1 ( v× cïng phô víi gãc ABC)
ÐC2 = ÐA1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)
=> ÐC1 = Ð C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ^ HM => D CHM c©n t¹i C 
=> CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
 => ÐC1 = ÐE1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)
Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 
ÐC1 = ÐE2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)
ÐE1 = ÐE2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.
Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh ED = BC.
Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lêi gi¶i: 
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
Ð CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
 Ð CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
 => Ð CEH + Ð CDH = 1800
 Mµ Ð CEH vµ Ð CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 
2. Theo gi¶ thiÕt: 	BE lµ ®­êng cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD lµ ®­êng cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn 
=> D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ÐBEC = 900 .
VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC.
V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ÐE1 = ÐA1 (1).
Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ÐE3 = ÐB1 (2)
Mµ ÐB1 = ÐA1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ÐE1 = ÐE3 => ÐE1 + ÐE2 = ÐE2 + ÐE3 
Mµ ÐE1 + ÐE2 = ÐBEA = 900 => ÐE2 + ÐE3 = 900 = ÐOED => DE ^ OE t¹i E.
VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i E.
5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ó ED2 = 52 – 32 ó ED = 4cm
Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.
Chøng minh AC + BD = CD.
Chøng minh ÐCOD = 900.
3.Chøng minh AC. BD = .
4.Chøng minh OC // BM
5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD.
5.Chøng minh MN ^ AB.
6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i: 
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
 Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ ÐAOM vµ ÐBOM lµ hai gãc kÒ bï => ÐCOD = 900.
Theo trªn ÐCOD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ^ CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ).
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, 
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
Theo trªn ÐCOD = 900 nªn OC ^ OD .(1)
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM ^ OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).
Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh.
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB 
 IO // AC , mµ AC ^ AB => IO ^ AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD 
6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra 
=> MN // BD mµ BD ^ AB => MN ^ AB.
7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.
Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc 
A , O lµ trung ®iÓm cña IK.
Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lêi gi¶i: (HD)
1. V× I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 
Do ®ã BI ^ BK hayÐIBK = 900 . 
T­¬ng tù ta còng cã ÐICK = 900 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Ta cã ÐC1 = ÐC2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH.
ÐC2 + ÐI1 = 900 (2) ( v× ÐIHC = 900 ).
ÐI1 = Ð ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 
Tõ (1), (2) , (3) => ÐC1 + ÐICO = 900 hay AC ^ OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ^ MB, BD ^ MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .
Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK ^ NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh 
Vµ d©y cung) => ÐOKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM. 
VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 
3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R 
 => OM lµ trung trùc cña AB => OM ^ AB t¹i I .
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ÐOAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao.
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.
4. Ta cã OB ^ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ^ AB; còng theo trªn OM ^ AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).
6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R
Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH).
Chøng minh BE = BH + DE.
Lêi gi¶i: (HD)
D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).
V× AB ^CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña DBEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => ÐB1 = ÐB2 
2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ÐB1 = ÐB2 => D AHB = DAIB => AI = AH.
3. AI = AH vµ BE ^ AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.
4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao 
cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
 Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
2. Chøng minh BM // OP.
3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.
4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Lêi gi¶i: 
(HS tù lµm).
2.Ta cã Ð ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; Ð AOM lµ gãc ë t©m
ch¾n cung AM => Ð ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c Ð AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => Ð AOP = (2) 
Tõ (1) vµ (2) => Ð ABM = Ð AOP (3) 
Mµ Ð ABM vµ Ð AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)
3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : ÐPAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); ÐNOB = 900 (gt NO^AB).
=> ÐPAO = ÐNOB = 900; OA = OB = R; ÐAOP = ÐOBN (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5)
Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).
4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ^ AB => ON ^ PJ 
Ta còng cã PM ^ OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6)
DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ÐPAO = ÐAON = ÐONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6)
 AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ÐAPO = Ð NOP ( so le) (7)
 Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c ÐAPM => ÐAPO = ÐMPO (8).
Tõ (7) vµ (8) => DIPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®­êng cao => IK ^ PO. (9)
Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng.
Bµi 8 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.
1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.
4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.
5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Lêi gi¶i: 
1. Ta cã : ÐAMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐKMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).
ÐAEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐKEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).
=> ÐKMF + ÐKEF = 1800 . Mµ ÐKMF vµ ÐKEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Ta cã ÐIAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => DAIB vu«ng t¹i A cã AM ^ IB ( theo trªn). 
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => AI2 = IM . IB.
Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE = ME (lÝ do )
=> ÐABE =ÐMBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1)
Theo trªn ta cã ÐAEB = 900 => BE ^ AF hay BE lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABF (2).
Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B .
BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3)
Tõ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c ÐHAK (5) 
Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6).
Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng).
(HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. 
§Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. 
AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. 
ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ÐABM = ÐMAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7)
Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ÐABI = 450 => ÐAIB = 450 .(8)
Tõ (7) vµ (8) => ÐIAK = ÐAIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau).
VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).
Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi.
Chøng minh Ð ABD = Ð DFB.
Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Lêi gi¶i: 
C thuéc nöa ®­êng trßn nªn ÐACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BC ^ AE. 
ÐABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®­êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao ), mµ AB lµ ®­êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi.
D ADB cã ÐADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ).
=> ÐABD + ÐBAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1)
D ABF cã ÐABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ).
=> ÐAFB + ÐBAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2)
Tõ (1) vµ (2) => ÐABD = ÐDFB ( cïng phô víi ÐBAD)
Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ÐABD + ÐACD = 1800 .
ÐECD + ÐACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ÐECD = ÐABD ( cïng bï víi ÐACD).
Theo trªn ÐABD = ÐDFB => ÐECD = ÐDFB. Mµ ÐEFD + ÐDFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ÐECD + ÐEFD = 1800, mÆt kh¸c ÐECD vµ ÐEFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi 10 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­êng 
vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.
1.Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n. 2.Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn .
Lêi gi¶i: 
1. Ta cã SP ^ AB (gt) => ÐSPA = 900 ; ÐAMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐAMS = 900 . Nh­ vËy P vµ M cïng nh×n AS d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AS.
VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 
2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®­êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau 
=> ÐAMM’ = ÐAM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)
Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ^ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)
 => ÐAMM’ = ÐAS’S; ÐAM’M = ÐASS’ (v× so le trong) (2).
=> Tõ (1) vµ (2) => ÐAS’S = ÐASS’. 
Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ÐASP=ÐAMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP )
=> ÐAS’P = ÐAMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P.
3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ÐB1 = ÐS’1 (cïng phô víi ÐS). (3)
Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ÐS’1 = ÐM1 (4)
Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ÐB1 = ÐM3 (5).
Tõ (3), (4) vµ (5) => ÐM1 = ÐM3 => ÐM1 + ÐM2 = ÐM3 + ÐM2 mµ ÐM3 + ÐM2 = ÐAMB = 900 nªn suy ra ÐM1 + ÐM2 = ÐPMO = 900 => PM ^ OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M
Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh :
Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.
DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. 
Lêi gi¶i: 
 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ÐADF = ÐAFD s® cung DF ÐDEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). 
 Chøng minh t­¬ng tù ta cã ÐDFE < 900; ÐEDF < 900. Nh­ vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.
 2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC.
 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã Ð B = ÐC (v× tam gi¸c ABC c©n) 
=> BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn .
 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã Ð DBM = ÐBCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n).
ÐBDM = ÐBFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); Ð CBF = ÐBFD (v× so le) => ÐBDM = ÐCBF .
=> DBDM ~DCBF => 
Bµi 12 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn 
t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh :
Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.
Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo.
Lêi gi¶i: 
1. Ta cã ÐOMP = 900 ( v× PM ^ AB ); ÐONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ).
Nh­ vËy M vµ N cïng nh×n OP d­íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ÐOPM = Ð ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) 
 Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN 
=> ÐOPM = ÐOCM.
XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 l¹i cã ÐC lµ gãc chung => DOMC ~DNDC 
=> => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.
4. ( HD) DÔ thÊy DOMC = DDPO (c.g.c) => ÐODP = 900 => P ch¹y trªn ®­êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. 
V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.
Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt.
BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
AE. AB = AF. AC.
Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn .
Lêi gi¶i: 
1. Ta cã : ÐBEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 
=> ÐAEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)
ÐCFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 
=> ÐAFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)
ÐEAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3)
Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).
2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn =>ÐF1=ÐH1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH ^BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (O1) vµ (O2) 
 => ÐB1 = ÐH1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ÐB1= ÐF1 => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC mµ ÐAFE + ÐEFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => ÐEBC+ÐEFC = 1800 mÆt kh¸c ÐEBC vµ ÐEFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ÐA = 900 lµ gãc chung; ÐAFE = ÐABC ( theo Chøng minh trªn) 
 => DAEF ~DACB => => AE. AB = AF. AC.
* HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ^ AB => AH2 = AE.AB (*)
	 Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ^ AC => AH2 = AF.AC (**) 
 Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC
4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => DIEH c©n t¹i I => ÐE1 = ÐH1 .
DO1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ÐE2 = ÐH2.
=> ÐE1 + ÐE2 = ÐH1 + ÐH2 mµ ÐH1 + ÐH2 = ÐAHB = 900 => ÐE1 + ÐE2 = ÐO1EF = 900 
=> O1E ^EF .
 Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã O2F ^ EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn .
Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K.
§­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, 
EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K).
1.Chøng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K).
3.TÝnh MN.
4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn
Lêi gi¶i: 
 1. Ta cã: ÐBNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m K)
 => ÐENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)
 ÐAMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m I) => ÐEMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)
 ÐAEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m O) hay ÐMEN = 900 (3)
 Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt )
 2. Theo gi¶ thiÕt EC ^AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn (I) vµ (K) 
 => ÐB1 = ÐC1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ÐC1= ÐN3 
 => ÐB1 = ÐN3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ÐB1 = ÐN1 (5) 
 Tõ (4) vµ (5) => ÐN1 = ÐN3 mµ ÐN1 + ÐN2 = ÐCNB = 900 => ÐN3 + ÐN2 = ÐMNK = 900 hay MN ^ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N.
 Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, 
 VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K).
3. Ta cã ÐAEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m O) => DAEB vu«ng t¹i A cã EC ^ AB (gt) 
=> EC2 = AC. BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta cã S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = . IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 = . 202 = 400.
Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k))
S = ( 625- 25- 400) = .200 = 100 314 (cm2)
Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S.
Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .
Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.
Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy.
Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.
Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE.
Lêi gi¶i: 
Ta cã ÐCAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ÐMDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐCDB = 900 nh­ vËy D vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ÐD1= ÐC3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). 
ÐD1= ÐC3 => => ÐC2 = ÐC3 (hai gãc néi tiÕp ®­êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) 
=> CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.
3. XÐt DCMB Ta cã BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC nh­ vËy BA, EM, CD lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy.
4. Theo trªn Ta cã => ÐD1= ÐD2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1)
5. Ta cã ÐMEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn (O)) => ÐMEB = 900. 
Tø gi¸c AMEB cã ÐMAB = 900 ; ÐMEB = 900 => ÐMAB + ÐMEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®­êng trßn => ÐA2 = ÐB2 .
Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ÐA1= ÐB2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) 
=> ÐA1= ÐA2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2)
Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE
TH2 (H×nh b)
 C©u 2 : ÐABC = ÐCME (cïng phô ÐACB); ÐABC = ÐCDS (cïng bï ÐADC) => ÐCME = ÐCDS 
=> => ÐSCM = ÐECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.
Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i F, G.
Chøng minh :
Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD.
Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp .
 AC // FG.
C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy.
Lêi gi¶i: 
1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ÐBAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ÐDEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐDEB = ÐBAC = 900 ; l¹i cã ÐABC lµ gãc chung => DDEB ~ D CAB .
2. Theo trªn ÐDEB = 900 => ÐDEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); ÐBAC = 900 ( v× DABC vu«ng t¹i A) hay ÐDAC = 900 => ÐDEC + ÐDAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp .
 * ÐBAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ÐDFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) hay ÐBFC = 900 nh­ vËy F vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ÐE1 = ÐC1 l¹i cã ÐE1 = ÐF1 => ÐF1 = ÐC1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG.
4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S.
Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.
Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.
Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.
Chøng minh OH ^ PQ.
Lêi gi¶i: 
1. Ta cã MP ^ AB (gt) => ÐAPM = 900; MQ ^ AC (gt) 
=> ÐAQM = 900 nh­ vËy P vµ Q cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp.
* V× AM lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña AM.
2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao => SABC = BC.AH.
Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®­êng cao => SABM = AB.MP
Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®­êng cao => SACM = AC.MQ
 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 
Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH.
3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng ph©n gi¸c => ÐHAP = ÐHAQ => ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ÐHOP = ÐHOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®­êng cao => OH ^ PQ
Bµi 18 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC.
Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp .
Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.
Gäi K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp .
 Lêi gi¶i: 
1. Ta cã : ÐACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 
=> ÐMCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 
ÐADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn ) 
=> ÐMDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).
=> ÐMCI + ÐMDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2. Theo trªn Ta cã BC ^ MA; AD ^ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ^ AB nªn MH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.
3. DOAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ÐA1 = ÐC4 
DKCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ÐM1 = ÐC1 .
Mµ ÐA1 + ÐM1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ÐC1 + ÐC4 = 900 => ÐC3 + ÐC2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay ÐOCK = 900 .
XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ÐOHK = 900; ÐOCK = 900 => ÐOHK + ÐOCK = 1800 mµ ÐOHK vµ ÐOCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi 19. Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD.
Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .
Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.
Chøng minh BI // AD.
Chøng minh I, B, E th¼ng hµng.
Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).
Lêi gi¶i: 
 1. ÐBIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐBID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE ^ AB t¹i M => ÐBMD = 900 
=> ÐBID + ÐBMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp.
 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE ^ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) 
=> Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .
 3. ÐADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD ^ DC; theo trªn BI ^ DC => BI // AD. (1)
 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2).
Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 
 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => DMIE c©n t¹i M => ÐI1 = ÐE1 ; DO’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ÐI3 = ÐC1 mµ ÐC1 = ÐE1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => ÐI1 = ÐI3 => ÐI1 + ÐI2 = ÐI3 + ÐI2 . Mµ ÐI3 + ÐI2 = ÐBIC = 900 => ÐI1 + ÐI2 = 900 = ÐMIO’ hay MI ^ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).
Bµi 20. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng:
1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp .
2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 
3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.
4. B, E, F th¼ng hµng
5. DF, EG, AB ®ång quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).
Lêi gi¶i: 
1. ÐBGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐCGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) 
 Theo gi¶ thiÕt DE ^ AB t¹i M => ÐCMD = 900 
=> ÐCGD + ÐCMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp
2. ÐBFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐBFD = 900; ÐBMD = 900 (v× DE ^ AB t¹i M) nh­ vËy F vµ M cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng