Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và biểu điểm)
Bài 3 (2 điểm )
1) Cho hai đa thức : P = x + 2mx + m
Q = x + (2m+1) x + m
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
2) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng ,hiệu ,tích của chúng lần lượt
tỉ lệ nghịch với các số 35; 210 và 12
Bài 4 (3 điểm ). Cho tam giác cân ABC (AB = AC ) . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN . Kẻ MH , NK vuông góc với BC
( H và K thuộc đường thẳng BC) . Chứng minh rằng
1) BH = CK
2) Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại trung điểm I của MN
3) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên cạnh AB
Bài 5 (1 điểm ) Cho m , n là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho m.n . Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương
Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và biểu điểm)
PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN 7 Thời gian 150' (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm ) 1) 2) Tìm x biết Bài 2 (2điểm) 1) Cho a,b,c là các số khác không thoả mãn và . Chứng minh rằng 2) Tìm số nguyên n sao cho phân số có giá trị lớn nhất . Bài 3 (2 điểm ) 1) Cho hai đa thức : P = x + 2mx + m Q = x + (2m+1) x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) 2) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng ,hiệu ,tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với các số 35; 210 và 12 Bài 4 (3 điểm ). Cho tam giác cân ABC (AB = AC ) . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN . Kẻ MH , NK vuông góc với BC ( H và K thuộc đường thẳng BC) . Chứng minh rằng 1) BH = CK 2) Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại trung điểm I của MN 3) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên cạnh AB Bài 5 (1 điểm ) Cho m , n là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho m.n . Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương -----------------------------------Hết -------------------------------------- Chữ kí của giám thị 1 ................................... Chữ kí của giám thị 2...................... ...... Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Phần Đáp án Điểm 1 1 0, 5 0,25 0,25 2 0.25 0,25 0,25 0,25 2 1 0,5 0,5 2 Vì 2n - 3 là số nguyên lẻ nên Do đó A lớn nhất thì 2A lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất * Xét 2n-3 <0 thì (1) *Xét 2n-3 >0 thì .Phân số có tử và mẫu đều dương nên có giá trị lớn nhất khi 2n-3 nhỏ nhất 2n -3 là số nguyên dương nhỏ nhất khi 2n-3= 1 => n=2 Khi đó = 5 (2) So sánh (1) và (2 ) ta thấy lớn nhất bằng 5 khi n=2 vậy A lớn nhất bằng 6 khi n =2 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1 Vây thì P(1) = Q(-1) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Theo đề bài ta có : Từ Thay vào ĐK ta có : Với x= 7 => y= 5 (Thoả mãn ) Vậy x= 7 và y =5 là các số cần tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Hình vẽ 0,25 1 (1đ) Ta có ( Góc đáy của tam giác cân ) ( Hai góc đối đỉnh) hay Xét MBH và NCK có : (gt) MH= NK (gt) ( Chứng minh trên) => MBH =NCK (cạnh huyền -góc nhọn ) => BH = CK 0,25 0, 5 0,25 2 (0,75đ) . Xét IMH và INK có: MH//NK (cùng vuông góc với BC) => (so le trong) MH = NK (vì MBH =NCK) (gt) suy ra IMH = INK (g.c g) do đó IM=IM Vậy BC cắt MN tại trung điểm I của MN 0,25 0,25 0,25 3 (1đ) Kẻ tia phân giác của góc A cắt đường thẳng d vuông góc với MN tại O Chứng minh được ABO = ACO (c.g.c) (1) và OB = OC Chứng minh được OIM = OIN (c.g.c) =>OM = ON Chứng minh được OBM = OCN (c.c.c) => hay (2) Từ (1) và (2) => Mà (hai góc kề bù) hay OC vuông góc với AC *Như vậy O là giao điểm của tia phân giác góc A cố định và đường thẳng vuông góc với AC tại C cố định , nên O cố định . Vậy khi M thay đổi trên AB thì đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua điểm O cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Giả sử ƯCLN(m;n)=d (), ta viết Trong đó và ƯCLN * Vì chia hết cho m.n chia hết cho Ta có chia hết cho d2 nên chia hết cho d2 chia hết cho d , ta viết ( với ) * Vì chia hết cho m.nchia hết cho Ta có chia hết cho d3 nên chia hết cho d3 => m2 chia hết cho d . ta viết m2= dm3 =>m=d3m3 ( với ) * Vì chia hết cho m.nchia hết cho chia hết cho chia hết cho . Lại có và ƯCLN (m1;n1)=1 => m3=1 Do đó m= d3 Vậy m là lập phương của một số nguyên dương *** Một số chú ý . Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa Hình vẽ sai mà vẫn chúng minh đúng thì không chấm bài giải
File đính kèm:
- de_khao_sat_hoc_sinh_gioi_huyen_mon_toan_lop_7_nam_hoc_2012.doc