Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016
m¤N: TOÁN 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (5,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: . 
b) Tìm số nguyên x, biết: . 
c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. 
 b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 3: (4,0 điểm)
 	a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: . 
 	b) Chứng minh rằng: Nếu thì . 
Bài 4: (5,0 điểm)
	Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.
 a) Tính BN khi BM = 2cm. 	
 b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính .
	c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?
b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.
 Họ và tên thí sinh: ................................................................................................................
 Số báo danh: .................................................Phòng....................................................
KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 6
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Bài 1 (5,0 điểm) 
a) Tính giá trị biểu thức: 
b) Tìm số nguyên x, biết:. 
c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.
Câu
Nội dung
Điểm
a)
1.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b)
1.5đ
0.5đ
0.5đ
 . 
0.5đ
c)
2.0đ
Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.
+) Ta có 
0.5đ
0.5đ
 +) Ta có 
0.5đ
 + Suy ra S chia hết cho 10. 
0.5đ
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. 
 b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Câu
Nội dung
Điểm
a)
2.0đ
Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử
0.5đ
Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
 a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, (1)
Ta có (2)
0.5đ
Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng bằng 9 và như sau:
0.75đ
m
n
a
b
1
8
18
144
2
7
36
126
4
5
72
90
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90
0.25đ
b)
2.0đ
+ Với p = 2 p + 2 và p + 4 là các hợp số. 
 p = 2 không thỏa mãn
0.5đ
+ Với p = 3 p + 2 = 5 là số nguyên tố
 p + 4 = 7 là số nguyên tố
 p = 3 thỏa mãn
+ Với p là số nguyên tố và p > 3 
 p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 
0.5đ
* Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 33 và p + 2 > 3
 p + 2 là hợp số (trái với đề bài) 
* Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 63 và p + 4 > 3
 p + 4 là hợp số (trái với đề bài)
0.5đ
 Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
0.5đ
Bài 3 (4,0 điểm)
 	a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: 
 	b) Chứng minh rằng: Nếu thì 
Câu
Nội dung
Điểm
a)
2.0đ
Điều kiện 
Vì 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Do hoặc (vì )
 Với c = 1 suy ra a = 8
0.5đ
 Với c = 2 suy ra a = 9 
Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1
b)
2.0đ
Ta có: 
0.5đ
 = 
0.5đ
Do và theo bài ra 
0.5đ
Suy ra: 
0.5đ
Bài 4 (5,0 điểm): 
	Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.
 a) Tính BN khi BM = 2cm. 
 b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính .
	c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.
Câu
Nội dung
Điểm
Vẽ hình
0.5đ
a)
1.0đ
Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB
0.5đ
AM + 2 = 5 AM = 3 cm
Có AN = AM AN = 3 cm 
Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B
0.5đ
BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm
b)
2.0đ
+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: 
0.5đ
hay 
0.5đ
+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có và là hai góc kề bù . 
0.5đ
hay 
0.5đ
c)
1.5đ
Vì BN = AB + AN = 5 + AN
 Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất
0.5đ
Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất
0.5đ
 Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.
0.5đ
Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm):
 a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?
 b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.
Câu
Nội dung
Điểm
 a)
1.0đ
Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng
0.5đ
Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: đường thẳng 
0.5đ
Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 
3 – 1 = 2 đường thẳng. 
Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) 
b)
1.0đ
Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra và 
(không thỏa mãn)
Vì n không có 5 chữ số
 Vậy n có 4 chữ số. 
Suy ra S(n) 
Vì nên hoặc 
+) Với 
 (1)
 Vì 11a = 106 – 2b 106 – 2.9 = 88
 và 
 , thay a = 8 vào (1) được b = 9
+) Tương tự suy ra c = 0 và d = 7
 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007. 
1.0đ
 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. 
 *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. 
 *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.