Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

§Ò thi chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 7
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
C©u 1: (2®) Rót gän A=
C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau.
C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn.
C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC. Chøng minh r»ng:
	a, K lµ trung ®iÓm cña AC.
	b, BH = 
	c, ®Òu
C©u 5: (1.5®iÓm) Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.
§¸p ¸n
C©u1 (lµm ®óng ®­îc 2 ®iÓm)
Ta cã: = = (0,25®)
§iÒu kiÖn (x-2)(x+10) ¹ 0 Þ x ¹ 2; x ¹ -10 (0,5®)
MÆt kh¸c = x-2 nÕu x>2
-x + 2 nÕu x< 2 (0,25®)
* NÕu x> 2 th× = = (0,5®)
* NÕu x <2 th× .
 = = (®iÒu kiÖn x ¹ -10) (0,5®)
C©u 2 (lµm ®óng ®­îc 2®)
Gäi sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 Líp 7A,7B, 7C
theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)
Theo ®Ò ra ta cã
(0,5®)
BCNN (3,4,5) = 60
Tõ (2) Þ == hay == (0,5®)
¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã :
== = = =2 (0,5®)Þ x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®)
Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn l­ît lµ 40, 30, 24.
C©u 3 (lµm ®óng cho 1,5®)
§Ó lµ sè tù nhiªn Û 102006 + 53 9 (0,5®)
§Ó 102006 + 53 9 Û 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9
mµ 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9 9
102006 + 53 9 hay lµ sè tù nhiªn (1®)
C©u 4 (3®)
VÏ ®­îc h×nh, ghi GT, KL ®­îc 0,25®
a, DABC cã (Az lµ tia ph©n gi¸c cña)
 (Ay // BC, so le trong)
Þ c©n t¹i B
mµ BK ^ AC Þ BK lµ ®­êng cao cña D c©n ABC
Þ BK còng lµ trung tuyÕn cña D c©n ABC (0,75®)
hay K lµ trung ®iÓm cña AC
b, XÐt cña D c©n ABH vµ D vu«ng BAK.
Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung)
 V× 
Þ D vu«ng ABH = D vu«ng BAKÞ BH = AK mµ AK = (1®)
c, DAMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) Þ MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn Þ KM = AC/2 (2)
Tõ (10 vµ (2) Þ KM = KC Þ DKMC c©n.
MÆt kh¸c DAMC cã 
Þ DAMC ®Òu (1®)
C©u 5 (1.5®)
Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho. Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 3600 do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 3600 : 18 = 200, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.