Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và hướng dẫn chấm)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 PGD&ĐT NINH GIANG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07/11/2013
( Đề thi gồm có 01 trang )
Câu 1 (2,5 điểm): 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử .
b) Rút gọn biểu thức A= ( Với ) 
Câu 2 (2,0 điểm):
a)Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện:
b)Giải phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm):
 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
 b) Cho và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 
 Chứng minh rằng là một số hữu tỉ 
Câu 4 (2,5 điểm):
 1)Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định , đường kính CD thay đổi . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AC và AD tại M và N.
 a) Chứng minh : AC.AM không đổi khi CD thay đổi 
 b) Chứng minh : 
2) Cho tam giác ABC cân tại A có 
 Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
------------- HẾT ------------
Họ và tên thí sinh:  .. Số báo danh .
Chữ kí giám thị 1 .. Chữ kí giám thị 2 ..
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH GIANG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014
Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
2,0
điểm
a)
1điểm
0, 5
0,5
b)
1,5
điểm
* Xét trường hợp x > 3 ta có:
*Xét trường hợp ta có
Kết luận .Vậy với thì 
0,25
0,5
0, 5
0,25
Câu 2
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
ĐK 
Cộng từng vế ta có :
 Kết luận : vậy 
0,25
0, 5
0,25
b)
1,0 
ĐK : (*)
Vì < 0
nên 
Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) . vậy x= 2 là nghiệm của phương trình
0,25
0,25
0,25
 0,25
Câu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
x,y là số nguyên nên là số nguyên . Vì vậy y+3 ; 2x-1 là ước của 7
Ta có các trường hợp sau:
1) 2) 
3) 4) 
Kết luận 
0.25
0,5
0,25
b)
1.0 điểm
* Nếu x =0 hoặc y= 0 thì là số hữu tỉ 
*Nếu x, y đều khác 0 
 là số hữu tỉ
Vậy và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 
 thì là một số hữu tỉ
0,25
0, 5
0,25đ
Câu 4
2,5
điểm
1)a
0,75
Tam giác ABC nội tiếp (O) có AB là đường kính Tam giác ABC vuông tai C
Tam giác ABM vuông tại B, BC là đường cao 
 không đổi ( The hệ thức lượng trong tam giác vuông)
0,25
0, 5
1)b
0,75
Áp dụng hệ thức lượng trong tam các tam giác vuông AMB, ANB AMN ta có 
0,25
0,5
2
ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800
Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800
 BDC cân tại B BD = BC = a .
BDC ABC ( g – g) DC = 
 AD = b - 
BDE vuông có EBD = 600 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; 
AE = b - a.
Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có :
AD2 = AE2 + DE2 (b - )2 = (b - a)2 + (a.)2 
 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + = 3a2 –ab 
 a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
1,0
điểm
* Nếu y = 0 thì P = 0 
*Nếu thì 
* Nếu x,y trái dấu thì P < 0 .Do đó để tìm GTLN của P ta chỉ cần xét trường hợp x, y cùng dấu 
 - Xét thì không thỏa mãn Đ K 
 - Xét x;y > 0 
Từ 
Đặt 
Ta có
Áp dụng bất dẳng thức cô si cho hai số dương ta có
. dấu bằng xảy ra khi 
Với . Dấu bằng xảy ra khi 
Do đó 
vậy GTLN của P bằng khi x=4y
0,25
0,25
0,25
0,25
Hết