Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng 2 môn Toán - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Kèm hướng dẫn chấm)

SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NINH GIANG
MÔN TOÁN
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011
Câu 1: (3.0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
 (với x >2)
Câu 2 (2.0điểm).
1) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 5y + 3xy = 8
2) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Câu 3 (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau:	
	a) b) 
Câu 4 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên đoạn OB. Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE.
b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC có . Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Kẻ đường cao AH (H BC). Chứng minh HA = HB.
-------------------------------------Hết---------------------------------------
Cán bộ coi thi không cần giải thích thêm.
Họ và tên thí sinh :............................................................................Số báo danh :.................
Chữ ký giám thị 1 :...........................................Chữ ký giám thị 2 :........................................
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2
MÔN TOÁN
* Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa.
* Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
CÂU
NỘI DUNG
THANG ĐIỂM
1
Nếu x
Nếu x < 6
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
1) 
Ta có : 2x + 5y + 3xy = 7 => 6x + 15y + 9xy = 24
=> (3x+5)(3y+2) = 34
Xét các trường hợp và kết luận đúng pt đã cho vô nghiệm nguyên dương
2) Do a,b,c > 0 
áp dụng BĐT cô-si cho hai số dương ta có 
 (1)
Tương tự (2)
 (3)
Cộng từng vế (1),(2) và (3 ) ta được 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
0,5đ
0.5đ
0,25
0.25đ
0.25đ
0.25đ
3
1) 
 (*)
Đặt 
(*) => (4x-1).a = 2a2 + 2x - 1
(1)=> => 
Thử lại (*) có x = là nghiệm
2)
Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
Kết hợp với hệ đã cho suy ra: 
=> x = y = z
=> x = y = z = -1 hoặc x = y = z =2. Thử lại đúng.
Vậy hệ có hai nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)}
0,25đ
0,25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
4
Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề bài
a) Ta có ==900 nên AC// DE
b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD.
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE
=> CHE cân tại H
=> . Có và 
=> => 
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0.25đ
5
Ta có MA = MH = MC => 
Mà BK = CK => 
Lại có 
=> BHM cân tại H => HM = HB
Giả sử HA > HB (1) Ta có:
 (Mâu thuẫn với (1))
Tương tự chứng minh được AH <HB không xảy ra
Vậy AH = HB
0.25đ
0.5đ
0.25đ