Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Kèm hướng dẫn chấm)

§Ò thi chän häc sinh giái líp 9
M«n thi : Toán
Thêi gian lµm bµi : 150 phót 
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )
Bài 1 ( 6 điểm )
	 Cho P = 
	1. Rút gọn P.
	2. Tìm x để P > 0
	3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1)
Bài 2 ( 4 điểm )
	1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là 1 số chính phương.
	2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	A = 
Bài 3 ( 2 điểm )
	Cho hệ phương trình :	
	1. Chứng minh rằng : x = y
	2. Tìm nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4 ( 5 điểm )
	Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với B (O) và C (O’)
	1. Chứng minh OM // O’N.
	2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.
	3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5 ( 3 điểm )
	1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
	2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1.
__________________________________________________________
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 
 P = 
 =  = 
2. P > 0 ó 
 ó 
0,5đ.
0,5đ.
2,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
3. P. ( x + 1 ) = 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max
 Chỉ ra dấu bằng ó x = 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Bài 2
(4đ)
1. Đặt n2 – 14n – 256 = K2 ( K є N )
ó ( n – 7 )2 – K2 = 305 ó ( n – K – 7 )( n + K – 7 ) = 305
 = 1.305 = 61.5
Xét các trường hợp: do n + K -7 > n – K – 7
n – K – 7 = 1 và n + K – 7 = 305 => n = 160
n – K – 7 = - 305 và n + K – 7 = -1 => n = -146 ( loại )
n – K – 7 = 5 và n + K – 7 = 61 => n = 40
n – K – 7 = -61 và n + K – 7 = -5 => n = -26 ( loại )
Vậy n = 40, K = 28 hoặc n = 160 , K = 152
2. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a2 và b2
 A = 
 = . Áp dụng BĐT Cô si có
 A 
 -> Giá trị nhỏ nhất của A=8 a = b = 1
1,0đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
Bài 3
(2đ)
Điều kiện 
Từ 2 phương trình của hệ ta có :
Nếu x > y thì => VT > VP ( mâu thuẫn )
Tương tự nếu x VT < VP ( mâu thuẫn )
=> x = y
=> Hệ ó 
 Bình phương 2 vế của pt (2) => x = 0 hoặc x = 2012
=> Nghiệm của hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012)
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Bài 4
(5đ)
1. => OM //O’N
2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’
 Có : 
 Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’
 Do OB // O’C => 
 => P = P’ -> đpcm
3. MNO’C là hình thang có 
 S = 
 Dấu “ = “ xảy ra ó H O ó OM OO’ và O’N OO’
 Vậy Max S = 
2,0đ.
0,75đ.
0,75đ.
1,0đ.
0,5đ.
Bài 5
(2đ)
1.
 Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
A1 , B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy ra ó AB = AC 
 BB1 = mb ≤ R + OB1 đẳng thức xảy ra ó AB = BC
 CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy ra ó AC = BC
 => (1)
 Có 2S = ( a + b + c)r -> 
 Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => (2)
 2S = 
 = => (3)
 Từ (1),(2),(3) => 
 Dấu đẳng thức xảy ra ó ∆ABC đều
2. Theo đề bài có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* )
 ó a + K = b( Ka2 – b ) ó a + K = mb (1)
 Với Ka2 – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka2 (2)
 Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1
 = a + K – Ka2 + 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3)
 Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3)
 => K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 )
 => 
 * Nếu a = 1 từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 2 => b = 2 hoặc b = 3
 => (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3)
 * Nếu a = 2, K = 1 => ( m -1)(b – 1 ) = 0
 Khi m = 1 từ (1) => ( a; b ) = ( 2; 3 )
 Khi b = 1 => (a; b) = ( 2; 1)
 Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1)
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,75đ.
0,25đ.