Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán (chuyên) - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức:
Câu II ( 2,0 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình .
Câu III (2,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện .
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Chứng minh .
Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
	Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................
Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
Phân tích thành nhân tử
1,00
Đặt 
0,25
0,25
0,25
0,25
I
2
1,00
0,25
0,25
0,25
Tương tự 
0,25
II
1
Giải phương trình 
1,00
ĐK: . Pt 
0,25
0,25
Giải pt (Loại)
0,25
Giải pt (TM). Vậy x = -2
0,25
II
2
Giải hệ phương trình 
1,00
Hệ 
Đặt ta được hệ 
0,25
Giải hệ pt này ta được 
0,25
TH 1. 
0,25
TH 2. 
Vậy hệ pt có tám nghiệm là
0,25
III
1
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 
1,00
Pt 
Tồn tại x 
0,25
0,25
Do y là số nguyên nên 
0,25
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là 
0,25
III
2
Tìm các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ
1,00
 là số hữu tỷ 
0,25
0,25
. Thế vào (1) ta được
0,25
Giải pt tìm được (loại) và 
Với . Vậy 
0,25
IV
1
Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
1,00
Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra 
0,25
Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra 
0,25
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra 
Suy ra DH là tia phân giác của góc 
0,25
Tương tự EH là tia phân giác của góc . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
0,25
IV
2
Chứng minh 
1,00
Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A
Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra 
Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra 
0,25
 (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
0,25
Suy ra 
0,25
AO ^ xAy Þ AO ^ EF
0,25
IV
3
Chứng minh 
1,00
AO ^ EF Þ SAEOF = 
0,25
Tương tự
0,25
0,25
Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất Û lớn nhất Û khoảng cách từ A đến BC lớn nhất Û A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
0,25
V
Tìm GTNN của 
1,00
Ta có 
0,25
Tương tự suy ra 
0,25
Đặt 
0,25
Do đó . Đẳng thức xảy ra . Vậy GTNN của S là 
0,25
 Hình vẽ câu a	 Hình vẽ câu b
Chú ý. Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên vẫn cho đủ số điểm tương ứng.