Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán (không chuyên) - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
Giải phương trình .
Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình có nghiệm là 
Câu II ( 2,0 điểm)
Rút gọi biểu thức với .
Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.
Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
Câu IV (3,0 điểm)
	Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh .
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V (1,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh...........................................
Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
Giải phương trình 
1,00
Pt 
0,25
0,25
0,25
0,25
I
2
Hệ phương trình có nghiệm là 
1,00
Thay vào hệ ta được 
0,25
0,25
Tìm được 
0,25
Tìm được .
0,25
II
1
Rút gọi biểu thức với .
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
II
2
Nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm bao nhiêu ngày để xong việc
1,00
Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (x > 9)
Khi đó số ngày người thứ hai làm một mình xong công việc là x - 9
0,25
Theo bài ra ta có phương trình 
0,25
0,25
. Đối chiếu với điều kiện ta được x = 18
Vậy số ngày người thứ nhất làm một mình xong công việc là 18 ngày
 Số ngày người thứ hai làm một mình xong công việc là 9 ngày
0,25
III
1
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
1,00
0,25
0,25
0,25
 nên phương trình luôn có hai nghiệm 
0,25
III
2
 (1)
1,00
Theo Viét ta có 
0,25
 là nghiệm nên
Tương tự ta có 
0,25
Vậy (1) 
0,25
0,25
IV
1
Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn
1,00
I là trung điểm của BC suy ra 
0,25
AM, AN là tiếp tuyến 
0,25
Suy ra A, M, N, I, O cùng thuộc một đường tròn
0,25
Suy ra M, N, I, O cùng thuộc một đường tròn
0,25
IV
2
Chứng minh .
1,00
Gọi AFIH là tứ giác nội tiếp
0,25
 đồng dạng với 
0,25
 (1)
0,25
Tam giác AMO vuông tại M có MF là đường cao nên (2). Từ (1) và (2) suy ra 
0,25
IV
3
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
1,00
Tam giác AMB đồng dạng với tam giác ACM 
0,25
Tứ giác EFOI nội tiếp 
0,25
Suy ra ; A, B, C, I cố định suy ra AE là hằng số.
0,25
Mặt khác E luôn thuộc đoạn thẳng BC cố định nên điểm E cố định. Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định
0,25
V
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
1,00
Đặt thỏa mãn và . Khi đó
0,25
0,25
0,25
Đẳng thức xảy ra 
. Vậy GTNN của S là 11
0,25