Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án và hướng dẫn chấm)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2011 (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (1,5 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Câu 2 (2,5 điểm)
Giải phương trình .
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Câu 3 (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :
 là số hữu tỉ và là số nguyên tố.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Câu 4 (3,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
Chứng minh PI.AB = AC.CI
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Câu 5 (1,0 điểm) 
Chứng minh thỏa mãn .
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh 
.
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
+ Đáp án gồm có 05 trang
+ Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
Phân tích đa thức thành nhân tử
1,50
A = 
0,25
0,25
0,5
0,5
2
a
Giải phương trình (1)
1,50
Vậy TXĐ: 
- Nếu thì VP(1) (không thỏa mãn)
0,5
- Nếu thì (1) 
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
0,25
Thử lại. Với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25
b
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1,00
- Nếu x = 0 thì hệ có nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0)
0,25
- Nếu . Ta có : 
0,25
Cộng theo vế các phương trình của hệ ta được
0,25
. Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ pt đã cho.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0), .
0,25
3
a
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1,00
Ta có , trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn 
n > 0, (m, n) = 1.
.
0,25
Vì là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có 
(2) nx – my = ny – mz = 0 .
0,25
Ta lại có : 
Vì là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z = 1. Do đó 
0,25
Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên 
Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1.
Khi đó và (thỏa mãn)
Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
b
Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
1,00
Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150
 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 
 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25
Xét 6 trường hợp sau
0,25
 (thỏa mãn) 
 (thỏa mãn)
0,25
 (loại)
 (loại)
0,25
 (loại) 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có 3 nghiệm (x ; y) là (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0).
0,25
4
a
Chứng minh PI.AB = AC.CI
1,00
Chứng minh 
Ta có : 
0,25
Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp 
0,25
Từ (1) và (2)
0,25
(đpcm)
0,25
b
Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
1,00
Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)
 là góc nội tiếp chắn cung DI (3)
0,25
 có DM là đường trung tuyến 
 cân tại M 
0,25
Ta lại có (cùng phụ với ) (5)
0,25
Từ (4) và (5) 
Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
0,25
c
Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR
1,00
c
MD là tiếp tuyến của (O)
0,25
Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp 
0,25
Ta lại có : 
Từ (7), (8), (9) BA là phân giác của 
0,25
Chứng minh tương tự ta được AB là phân giác của 
Từ đó suy ra AB là đường trung trực của KR.
0,25
5
a
Chứng minh thỏa mãn 
0,50
0,25
BĐT cuối cùng đúng do . 
Đẳng thức xảy ra hoặc 
0,25
b
Chứng minh 
0,50
.
Đặt thì và 
BĐT trở thành 
Không giảm tổng quát, giả sử z nhỏ nhất suy ra . Theo câu a
0,25
Ta sẽ CM . Bằng biến đổi tương đương
BĐT .
BĐT cuối cùng đúng do và . 
0,25
-------- Hết -------