Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/03/2012
 (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,5 điểm).
Rút gọn biểu thức: 
Phân tích thành nhân tử: 
Tìm x biết: 
Câu 2 (2,0 điểm).
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
.
	b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm). 
	Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON .
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định.
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
 Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (0,5 điểm).
	Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
HẾT
Họ và tên thí sinh:...Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1:..Chữ kí của giám thị 2:....
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
 	Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25đ.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Rút gọn biểu thức: 
1,5
ĐKXĐ: x 2 hoặc x > 4
0,25
0,25
* Trường hợp 1: x 2, ta có: 
0,25
 (vì x 2 nên)
0,25
* Trường hợp 2: x 4, ta có: nên:
(1)0,25
0,25
b
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
0,5
Ta có 
0,25
(*)
0,25
Tìm x biết: 
0,5
Ta có: 
 (Theo (*)). 
0,25
Vì =0;=0 vô nghiệm . KL: x = -2
0,25
2
a
Giải hệ phương trình: 
1,0
(1), ta được x = y hoặc x = -2y
0,25
* Với x = y, từ (2) ta có: , ta được 
0,25
* Với x = -2y, từ (2) ta có , ta được 
Nếu . Nếu 
0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1); ; (2; -1); (-6; 3).
0,25
b
Giải phương trình: 
1,0
, (ĐKXĐ: x 2)
0,25
. Đặt , ta được (*)
0,25
(*)
 Lý luận để có t = - 4
0,25
Với t = - 4, thì hay. Vậy x = 1
0,25
3
a
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
1,0
Biến đổi phương trình đã cho ta được 
0,25
. Do đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nên là số chính phương&chia hết cho 8 . Ta có các TH sau:
0,25
* Do 156 không c.phương nên TH này vô nghiệm
* Do 126 không c.phương nên TH này vô nghiệm
0,25
* 
Ta được hoặc 
Vậy (x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6)
0,25
b
Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. CMR: n2 + m không là số chính phương.
1,0
Giả sử n2 + m là số chính phương. Đặt n2 + m = k2 (1) (với k nguyên dương)
Theo bài ta có 2n2 = mp (p nguyên dương), thay vào (1) ta có:
0,25
0,25
Do n2, chính phương, nên phải chính phương.
0,25
Mặt khác , tức không chính phương. Nên giả sử sai.
Vậy n2 + m không chính phương
0,25
4
a
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
1,0
 (vì OM’.OM = ON’.ON);
chung nên đ. dạng với 
0,25
0,25
; 
 nên( hoặc M’, N’ cùng nhìn M N dưới cùng một góc, khi M’ và N’ kề nhau - M, N cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài(O) ) M, M’, N’, N thuộc một đường tròn.
( Thí sinh chỉ cần làm đúng 1 trường hợp cũng cho 0,5 đ)
0,25
0,25
b
Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định.
1,0
Gọi giao của d với OB là C Lấy điểm C’ đối xứng với O qua B điểm C’ cố định trên tia OC
0,25
Ta có:
0,25
; chung đồng dạng với 
0,25
.Vậy M’ thuộc đường tròn đường kính OC’ cố định.
0,25
c
Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất theo hai trường hợp
1,0
Gọi giao của d với (O;R) là D, E (hình vẽ)
*TH1: Do d là trung trực của OB MO = MB.
0,25
Ta có: MA + MO = MA + MB AB, dấu “=”xảy ra khi M trùng C 
MA + MO nhỏ nhất khi M trùng C (M)
0,25
*TH2: Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm D.
0,25
Gọi K là giao của tia BD với AM.
Ta có MB + MKKB = KD + DB 
 KD + AK AD 
MA + MO = MA + MB DA + DB, dấu “=” có khi M trùng với D
Tương tự khi M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa E: MA + MO = MA + MB EA + EB, dấu “=” xảy ra khi M trùng với E
0,25
Vậy MA + MO nhỏ nhất khi M trùng D hoặc M trùng E (M, M không ở trong (O;R)).
5
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
0,5
Theo bài ta suy ra các cạnh của hình hành là tiếp tuyến của đường tròn (O; r). Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh như hình vẽ.
CM = CN; AP = AQ, BM = BQ; PD = DN
 CM + BM + AP + PD = CN + DN + AQ + BQ
 2BC = 2AB BC = AB
0,25
Kẻ AH. Ta có , dấu “=” có khi.
Ta có:P, O, M thẳng hàng, do đó AH = PM = 2r.
 AB2r.AH=2r.2r 
4r2, dấu “=” xảy ra khi 
 Vậy trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r) thì hình vuông có diện tích nhỏ nhất và bằng 4r2.
0,25
----------------------------- HẾT ----------------------------