Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2015
( Đề thi gồm có 01 trang )
Câu 1 (2,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức: A = 
với 
b) Cho x, y thỏa mãn:
Chứng minh: 
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình 
b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số đều là số nguyên tố.
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: .
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung không chứa D lấy F(F B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P A). 
a) Giả sử , tính DE theo R.
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM 
c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
------------- HẾT ------------
Họ và tên thí sinh: Số báo danh .
 Chữ kí giám thị 1  Chữ kí giám thị 2 ..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu1
2,0
điểm
a)
1,0điểm
Đặt , a > 0
0,25
0,25
0,25
B = 2x3 + 3x2 – 4x + 2 
B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1 
0,25
b)
1,0điểm
(1)
ĐKXĐ: 
(1)
Nếu x khác y và thì >0;
>0;>0 , do đó (1)
0,25
(2)
0,25
Khi đó dễ chứng tỏ 
0,25
Mà nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0
Nếu x=y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y.
0,25
Câu 2
2,0
điểm
a)
1,0 điểm
 (1)
ĐKXĐ:
Đặt: Khi đó (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2)
Chứng minh được (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0
0,25
Với: x + y = 0 ( Thỏa mãn)
0,25
Với: x + z = 0 ( không thỏa mãn).
0,25
Với: y + z = 0 - vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm:
0,25
b)
1,0 ®iÓm
0.25
Ta có:
 hoặc 
0.25
Với thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = 0 suy ra x = 1
 Ta được nghiệm (1;1) 
0.25
 thay vào (2) ta được: 5x2 – x – 4 = 0 , suy ra x = 1;
Ta được nghiệm (1;1) và ()
Vậy hệ có nghiệm (1;1) và ()
0.25
Câu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
Tìm số nguyên tố p sao cho các số đều là số nguyên tố.
+) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập. Khi đó chia cho 7 có thể dư: 1;4;2
0.25
Xét 
 Nếu chia cho 7 dư 1 thì chia hết cho 7 nên trái GT
 Nếu chia cho 7 dư 4 thì chia hết cho 7 nên trái GT
 Nếu chia cho 7 dư 2 thì chia hết cho 7 nên trái GT
0.25
+) Xét p=2 thì =16 (loại)
0.25
+) Xét p=7k, vì p nguyên tố nên p=7 là nguyên tố, có: đều là các số nguyên tố
Vậy p =7
0.25
b)
1,0 ®iÓm
Giả thiết (1)
+) Lập luận để (*)
0,25
(1)
(2)
 vì y nguyên dương
0,25
Nếu thì (1) có dạng: (vì có(*))
Khi đó , x nguyên dương nên tìm được x=6
0,25
Nếu (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng: (vì z nguyên dương)
Suy ra (vì x nguyên dương)
Đáp số 
0,25
Câu 4
3,0
điểm
a)
1,0 ®iÓm
Vẽ hình (1 trường hợp)
0,25
Sđ
0,25
Suy ra nên tam giác OED đều 
0,25
suy ra ED = R.
0,25
b)
1,0 ®iÓm
 (2 góc nội tiếp chắn cung AE)
 (Cùng bù với góc EDC)
Suy ra: nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM
0,25
Nên (1)
0,25
 Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM 
0,25
c)
1,0 ®iÓm
Xét I nằm giữa B, D( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)
 Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên ( cùng bằng ), suy ra tứ giác CKFH nội tiếp nên .
0,25
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
Suy ra: 
0,25
Mà suy ra: 
0,25
Vậy nên nhỏ nhất khi FH lớn nhất khi F là trung điểm cung BC
0,25
Câu 5
1,0
điểm
Có (1)
Ta chứng minh với x, y dương: 
(*) luôn đúng; “=”=0a=
0,25
Áp dụng(*) ta có: 
0,25
 x=y=z)
0,25
Tương tự: 
( theo (1))
Vậy M đạt GTLN là khi x = y = z = 3( theo (1))
0,25
--Hết--