Đề thi sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án và hướng dẫn chấm)

Đề thi sinh giỏi
 Môn: Toán8
(Thời gian làm bài: 150 phút, Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
 a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
 b) Rút gọn A.
 c) Nêu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trình :
b) Tìm các số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tính SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
đáp án và hướng dẫn chấm
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
	(1 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	(0,75 điểm)
x2009 = y2009 = z2009	(0,75 điểm)
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần Chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)	(1 điểm)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trên chia HếT cho 5	(1,25 điểm)
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.	(0,75 điểm)
Bài 4: 6 điểm
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	(1 điểm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	0,5 điểm
- Từ đã suy ra 	0,5 điểm
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	0,75 điểm
- Suy ra 	0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o	0,5 điểm
- XÐt EDB vuông Tại D có = 30o
	 ED = EB 	0,5 điểm
- Lý luận cho Từ đã SECB = 144 cm2	0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	0,5 điểm
	0,5 điểm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
	1 điểm
Bài 5: (2 điểm)
vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó (*) 
(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ)
 Đặt 
 	(0,25đ)	
 Biểu thức đã cho trà thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1	(0,25đ)
- Nêu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ)
- Nêu x; y trái dấu thì và t < 0 t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
 > 0 P > 1 	(2)	(0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thì luôn có P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y