Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Hà Nội môn Toán - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI	
	 Năm học: 2012 – 2013
	ĐỀ CHÍNH THỨC	 MÔN: TOÁN
	 Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
Rút gọn biểu thức (với x 0, x16).
Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
	Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Cho phương trình : (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh
Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 M = .
BÀI GIẢI
Bài I: (2,5 điểm) 
1) Với x = 36, ta có : A = 
2) Với x , x ¹ 16 ta có :
B = = 
3) Biểu thức B (A – 1) = = là số nguyên 
	Û x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 Û x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18
Bài II: (2,0 điểm)
	Đặt x là số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc Þ x + 2 là số giờ người thứ hai hoàn thành công việc. Vậy ta có phương trình :
	 Û x = 4
	Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và người thứ hai làm xong công việc trong 6 giờ.
Bài III: (1,5 điểm)
1) 	 Û Û Û 
2)	D = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, "m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt "m
	Ta có : x1 + x2 = = 4m – 1 và x1.x2 = = 3m2 – 2m Do đó, ycbt Û (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7
A 
B 
C 
M 
H 
K 
O 
Q 
P 
E 
	Û (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 Û 10m2 – 4m – 6 = 0 Û m = 1 hay m = 
Bài IV: (3,5 điểm) 
Tứ giác CBKH có hai góc đối nên tứ giác CBKH nội tiếp trong vòng tròn đường kính HB.
Góc chắn cung và vì cùng chắn cung . 
Vậy 
Xét 2 tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và góc giữa = vì cùng chắn cung nên 2 tam giác đó bằng nhau. 
Vậy ta có CM = CE và vì chắn cung .
Vậy tam giác MCE vuông cân tại C.
Xét 2 tam giác PAM và OBM 
Theo giả thuyết ta có . Mặt khác ta có vì cùng chắn cung vậy 2 tam giác trên đồng dạng. 
	Vì tam giác OBM cân tại O nên tam giác PAM cũng cân tại P. Vậy PA = PM.
Kéo dài BM cắt d tại Q. Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM nên PA = PQ vậy P là trung điểm của AQ nên BP cũng đi qua trung điểm của HK, do định lí Thales (vì HK//AQ).
Bài V: (0,5 điểm)
	M = với x, y là các số dương và x ³ 2y
	Ta có £ (Bất đẳng thức Cauchy)
	= (Thay mẫu số bằng số nhỏ hơn).
	Suy ra Max khi x = 2y, do đó giá trị nhỏ nhất của M = đạt được khi x = 2y.