Đề thi tuyển sinh vào khối Trung học Phổ thông chuyên năm 2011 môn Toán học (Có đáp án)

Bé gi¸o dôc ®µo t¹o	 céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr­êng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn	 §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2011
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn)
Thêi gian lµm bµi :120 phót 
Câu 1 	a) Giải hệ phương trình:
 	b)Giải phương trình:
Câu 2
 	a) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên  thỏa mãn đẳng thức:
 	b) Tìm tất cả các cặp số nguyên  thỏa mãn đẳng thức: 
Câu 3
 	Cho hình bình hành ABCD với . Đường phân giác của góc  cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
 	a) Chứng minh rằng .
 	b) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
 	c) Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng .
Câu 4 Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh...................................................Sè b¸o danh.....................
Câu 1 	a) Giải hệ phương trình:
 §Æt a – 1 = a, y – 2 = b ta cã 
 Tõ (2) ta cã thay vµo (1) ta cã 
 => b = 0	=> x = 1; y = 2	
b)Giải phương trình:
 ( x > 0)
x5 – 4x4 +6x3 – 16x2 + 25x – 12= 0 ó ( x- 1)2)x-3)( x2 + x+ 4) = 0
x = 1 hoÆc x = 4 
Câu 2
 a) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên  thỏa mãn đẳng thức:
 x4 + y4 = 7z4 + 5 => x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5	
 => x, y, z cïng lÎ hoÆc chØ cã 1 sè lÎ
Víi x, y, z cïng lÎ => x4 + y4 + z4 chia 8 d­ 3 mµ 8z4 + 5 chia 8 d­ 5 ( v« lÝ)	
Víi x, y, z cïng lÎ hoÆc chØ cã 1 sè lÎ => x4 + y4 + z4 chia 8 d­ 1 mµ 8z4 + 5 chia 8 d­ 5 ( v« lÝ)
VËy kh«ng tån t¹i bé ba sè x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc
b) ( x + 1) 4 – ( x – 14 = y3ó y3 = 8x(x2 +1) 
NÕu x > 0 => 8x(x2 +1) > (2x)3 vµ 8x(x2 +1) (2x)3 < y3 < (2x+1)3 
=> kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña y nguyªn tho¶ m·n.
T­¬ng tù víi x < 0 ta còng cã kÕt qu¶ nh­ trªn.
Víi x = 0 => y = 0 ( tho¶ m·n)
C©u 3 
a)Tam gi¸c CEF c©n t¹i C nªn CO lµ trung trùc cña EF vµ , OE = OF
=> Tam gi¸c BAE c©n t¹i B => BE = BA = DC.
=> Tam gi¸c DAF c©n t¹i D => DA = DF = BC.
Tø gi¸c BCDO néi tiÕp => 
=> 
b) => OC = OE mµ OE = OF 
=> O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CEF.
c) CI c¾t AD t¹i K.
KD // BC => => §pcm
C©u IV Ta cã 
 §Æt
=>