Ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Giải toán bằng cách lập phương trình - Nguyễn Thị Thu Hòa

06. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bước để giải toán bằng cách lập phương trình:
	Bước 1: Lập phương trình
	– Đặt ẩn số và điều kiện cho ẩn phù hợp.
	– Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.
	– Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
	Bước 2: Giải phương trình đã lập.
	Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán
II. BÀI TẬP
Bài 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó.
Bài 2: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. 
Bài 3: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.
Bài 4: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.
Bài 5: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
Bài 6: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. 
Bài 7: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. 
Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài 8: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà Nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng Sơn dài 163km.
Bài 9: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175 km để gặp nhau. Xe 1 đi sớm hơn xe 2 là 1giờ 30 phút với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?
Bài 10: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A là 20km. 
 Hỏi vận tốc của thuyền? Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
Bài 11: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.
Bài 12: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1giờ 40 phút. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?
Bài tập tự luyện 
Bài 13: Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số 11 đơn vị. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng . Tìm phân số ban đầu. Đ/S: 
Bài 14: Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng và dự kiến đến Hải Phòng lúc 10 giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ô tô đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường Hà Nội – Hải Phòng.	 Đ/S: 100 km
Bài 15: Lúc 7 giờ sáng, một ca nô xuông dòng từ bến A đến bến B cách nhau 36km, rồi ngay lập tức trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng biết vận tốc dòng nước là 6km/h
Đ/S: Vận tốc ca nô xuôi dòng là 24 km/h.
Bài 16: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và bến B, biết vận tốc dòng nước là 2km/h.
Đ/S: 80 (km).
Bài 17: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đó, đội đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày và còn vượt múc 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than? 	 Đ/S: 500 tấn than
Bài 18: Hai vòi nước cùng chảy vào một bẻ cạn nước, sau giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng lượng nước vòi 2 chảy. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể. 	
Đ/S: Vòi 1 chảy trong 8 giờ đầy bể , vòi 2 chảy riêng trong 10 giờ đầy bể
Bài 19: Cho một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10 cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2cm. Tìm diện tích của tam giác vuông.
Đ/S: Hai cạnh góc vuông của tam giác là 6 cm và 8cm. Diện tích của tam giác là 24cm2.
Bài 20: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích vườn tăng thêm 385m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trên.
Đ/S: Chiều rộng là 18 m và chiều dài là 54 m.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Số thứ nhất là a, số thứ hai là 59; tổng của hai số bằng:
A. ;	B. ;	C. ;	 D. .
Câu 2: Vận tốc của một xe lửa là y (km/h), quãng đường xe lửa đi được trong thời gian 5 h 15 phút là: 
A. ;	B. ;	C. ;	 D. .
Câu 3: Hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b; diện tích của hình đó là:
A. ;	B. ;	C. ;	D. .
Câu 4: Tổng của hai số là 90, số này gấp đôi số kia. Hai số cần tìm là:
A. 20 và 70 ; 	B. 30 và 60 ;
C. 40 và 50 ;	D. 10 và 80.
Câu 5: Một vật có khối lượng riêng D, thể tích là V; khối lượng của vật sẽ bằng : 	A. Đúng ;	B. Sai .	
Câu 6: Tổng của hai số bằng 40, hiệu của chúng là 10; Hai số đó là 30 và 10:
	A. Đúng ;	B. Sai .	
Câu 7: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng:
	Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình :
A
B
1) Bước 1
 a) Giải phương trình 
2) Bước 2
 b) Trả lời
3) Bước 3
 c) Lập phương trình 

Câu 8: Một Canô có vận tốc t km/h đi trên dòng sông, biết vận tốc dòng chảy là 5km/h. Vận tốc (km/h) đi ngược dòng là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9: Hai người cùng làm một công việc sau 24h thì xong. Một giờ hai người đó làm được 
A. (công việc)	B. (công việc)	C. 24 (công việc)
Câu 10: Quãng đường từ Hà Nội - Đèo Ngang là 675 km, một ôtô xuất phát ở Hà Nội lúc 7h30 đến Huế lúc 16h30, vận tốc của ôtô là 
A. 57 km/h	B. 76 km/h	C. 74 km/h	D. 75 km/h
Câu 11:Cho 1 số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị. Nếu gọi chữ số hàng đơn vị là a thì chữ số hàng chục là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Gọi x (kg) là vận tốc của canô thứ nhất. Canô thứ hai có vận tốc nhanh hơn Canô thứ nhất là 4km/h. Khi đó vận tốc của canô thứ hai được biểu thị là (đơn vị km/h):
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Tuổi của Bố hiện nay là 45 tuổi, 5 năm trước tuổi của Bố là
A. 50 tuổi	B. 44 tuổi	C. 35 tuổi	D. 40 tuổi
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Gọi số bé là .
 Số lớn là .
Chia số bé cho 7 ta được thương là :.
Chia số lớn cho 5 ta được thương là: 
 Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được 
Vậy số bé là 28.
Số lớn là: 28 +12 = 40.
Bài 2: Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.
Số sách lúc đầu ở thư viện II là: (cuốn)
Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: (cuốn)
Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:
 (cuốn) 
Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:
 Giải phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.
Số sách lúc đầu ở thư viện II là: cuốn.
Bài 3: Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.
Số công nhân xí nghiệp II trước kia là (công nhân).
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: (công nhân).
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: (công nhân).
Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: công nhân.
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: công nhân.
Bài 4: Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.
Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: (tuổi).
Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: (tuổi).
Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: (tuổi).
 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: (tuổi).
Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:
Giải phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi.
Số tuổi hiện nay của người thứ hai là: tuổi.
Bài 5: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương.
dãy ghế sau khi thêm là: (dãy).
Số ghế của một dãy lúc đầu là: (ghế).
Số ghế của một dãy sau khi thêm là: (ghế).
Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình: 
 Giải phương trình ta được (thỏa mãn đk)
Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế. 
Bài 6: Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).
 Vận tốc của ô tô là: (km/h).
Quãng đường ca nô đi là: (km).
 Quãng đường ô tô đi là (km).
Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta được .(thỏa mãn đk).
Vậy vận tốc ca nô là 18 km/h. Vận tốc ô tô là (km/h).
Bài 7: Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: km/h
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: km/h
Thời gian tàu đi xuôi dòng là: h
Thời gian tàu đi ngược dòng là: h
Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20 phút = h nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta được: (loại) (tmđk) . Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h 
Bài 8: Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là km/h (x>0)
Vận tốc lúc sau là km/h
Thời gian đi quãng đường đầu là: h
Thời gian đi quãng đường sau là: h
Theo bài ra ta có phương trình
Giải phương trình ta được (tmđk)
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.
Bài 9: Gọi thời gian đi của xe 2 là (giờ) (x > 0)
Thời gian đi của xe 1 là (giờ)
Quãng đường xe 2 đi là: km
Quãng đường xe 1 đi là: km
Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được (tmđk)
Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.
Bài 10: Gọi vận tốc của thuyền là ( km/h)
Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h)
Thời gian thuyền đi là: 
Thời gian ca nô đi là: 
Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20' và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình 
Giải phương trình ta được: (không thỏa mãn) ; (tmđk)
Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.
Bài 11: Gọi vận tốc của người đi xe đạp là (km/h) (x>0)
Vận tốc người đi xe máy là: km/h
Thời gian người đi xe đạp đi là: h
 Thời gian người đi xe máy đi là: h
Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được (tmđk)
Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h.
Bài 12: Phân tích bài toán: 
Đây là dạng toán chuyển động quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau:
 + Lúc đầu đi quãng đường bằng xe đạp.
 + Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây là thời gian nghỉ)
 + Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở quãng đường sau.
 + Vì thế đến sớm hơn so với dự định. 
 - Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực đi hai quãng đường bằng xe đạp, ô tô, đổi thời gian nghỉ và đến sớm ra giờ.
 - Công thức lập phương trình:
 tdự định = tđi + tnghỉ + tđến sớm .
 - Phương trình là:
 Đáp số: km.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP
Bài 1. Năm 1994, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi con?
Bài 2. Học kỳ I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả lớp. Đến học kỳ II, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Bài 3. Số quyển sách ở ngăn I bằng số quyển sách ở ngăn II. Nếu lấy bớt 10 quyển ở ngăn II và thêm 20 quyển vào ngăn I thì số quyển sách ở ngăn II bằng số quyển sách ở ngăn I. Tính số quyển sách ở mỗi ngăn lúc đầu?
Bài 4. Có hai kho chứa hàng. Nếu chuyển 100 tấn hàng từ kho I sang kho II thì số tấn hàng ở 2 kho bằng nhau. Nếu chuyển 100 tấn từ kho II sang kho I thì số tấn hàng ở kho II sẽ bằng số tấn hàng ở kho I. Tính số tấn hàng ở mỗi kho lúc đầu.
Bài 5. Hai bể nước chứa 800 lít và 1300 lít. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất 15 
lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút. Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thức nhất bằng số nước ở bể thứ hai?
4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Ÿ Định nghĩa
- Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
- Ta có 
Ÿ Tính chất
a) Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó (hoặc nói: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau).
b) Nếu theo tỉ số k thì theo tỉ số 
c) Nếu và thì 
Ÿ Định lý
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
GT
 

KL

III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hai tam giác ABC và đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và cũng bằng k.
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF có cạnh nhỏ nhất là Tính các cạnh còn lại của tam giác DEF.
Bài 3: Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: . Kẻ ; . 
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hãy viết các góc bằng nhau và các tỉ số tương ứng. 
b) Hãy tính chu vi , biết hiệu chu vi của và là 30cm
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho . Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.
a)Tìm các tam giác đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) Điểm E nằm ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN?
Bài 5: Cho ABC. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác đó, biết tỉ số đồng dạng . Có thể dựng được bao nhiêu tam giác như thế?
Tự luyện
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, có Lấy F trên cạnh BC sao cho Tia DF cắt tia AB tại G.
a) Chứng minh và 
b) Tính độ dài đoạn thẳng AG.
c) Chứng minh 
Bài 2: Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh 
Bài 3: Hình thang ABCD có và hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minhh rằng và tìm tỉ số đồng dạng.
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Với là chu vi tam giác ABC và là chu vi tam giác 
Bài 2: .
 cạnh nhỏ nhất là cạnh . Nên cạnh nhỏ nhất của là 
Ta có: 
Từ đó tính được 
Bài 3: 
a) Các cặp tam giác đồng dạng:
 ; ( vì cùng đồng dạng với )
*
 ; 
* có :
* có: 
c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng
* theo tỉ số đồng dạng 
Do đó: 
Mà theo giả thiết: 
Bài 4: 
a) Tam giác đồng dạng với 
* . Tỉ số đồng dạng: 
* . Tỉ số đồng dạng: (hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng)
 theo tỉ số đồng dạng 
 theo tỉ số đồng dạng 
b) E là trung điểm của MN thì suy ra: 
Ta có: (cùng đồng dạng với )
suy ra: 
Suy ra E là trung điểm của AE
Bài 5: Cách 1: - Tại đỉnh A dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số bằng cách
Kẻ sao cho
- Tam giác có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên, sẽ được ba tam giác đồng dạng với tam giác .
Cách 2: - Ta có cách dựng thứ 2 bằng cách vẽ sao cho: 
- -Tam giác có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên, sẽ được ba tam giác đồng dạng với tam giác ABC
Kết luận: Ta có thể dựng được sáu tam giác đồng dạng với tam giác ( trong đó tại mỗi đỉnh có một cặp tam giác bằng nhau)