Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực tri trong toán THCS

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TOÁN THCS
BỘ MÔN: TOÁN
Năm học 2014 - 2015
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
 1. Tên sáng kiến: Phương pháp giải toán cực tri trong toán THCS
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn .
3. Tác giả: 
Họ và tên: Nguyễn Chí Thanh Nam
Ngày tháng/năm sinh: 02/9/1976.
Trình độ chuyên môn: Sư phạm Toán.
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên
Điện thoại: 0946559388.
4.Chủ đầu tư sáng kiến:
Trường THCS Thành Nhân - Ninh Giang - Hải Dương.
Địa chỉ : Thị trấn Ninh Giang - Ninh Giang - Hải Dương.
Số đt: 03203.766419
5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
 - Lớp thực nghiệm.
 - Cần có phương tiện hỗ trợ giảng dạy như máy tính, máy chiếu.
6. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu từ: Năm học 2010-2011.
 HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN)	 XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ 
 ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
 Nguyễn Chí Thanh
TÓM TẮT SÁNG KIẾN
 Xuất phát từ yêu cầu chung của ngành giáo dục là giáo dục, đào tạo công dân thành những người lao động hoà nhập được với cuộc sống nói chung với các hoạt động lao động sáng tạo nói riêng của đất nước. Vì vậy trong quá trình giáo dục nói chung và dạy – học nói riêng môn Toán đóng vai trò trọng tâm. Xác định được tính cấp thiết của vấn đề tôi đã không ngừng nghiên cứu nhằm đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán. Từ những nghiên cứu thực tế tôi đã viết và áp dụng sáng kiến: Phương pháp giải toán cực trị trong toán THCS.
Sáng kiến này được tôi viết và áp dụng trong điều kiện ngành giáo dục đang có nhiều đổi mới. Thay thế cho việc nặng nề về lí thuyết, hàn lâm, giáo dục đã phát triển theo hướng gắn với thực tiễn, lấy người học làm trung tâm. Đây là điều kiện hết sức thuận lợi để tôi thực hiện sáng kiến. Sáng kiến đã được áp dụng từ năm học 2010-2011 với đối tượng là học sinh các khối lớp 6, 7, 8, 9. 
Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến này chính là sự đổi mới toàn diện, triệt để trong phương pháp nghiên cứu và áp dụng thực tế. Đưa ra các giải pháp, biện pháp để thực hiện sáng kiến một cách hiệu quả nhất với cả người dạy và người học. 
Sáng kiến đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng dạy môn Toán tại trường áp dụng trong năm năm học. Mức độ áp dụng sáng kiến được nâng cao dần sau mỗi năm học. Dần dần đạt đến sự hoàn chỉnh nhất trong từng bài dạy trực tiếp hoặc có thể liên hệ đến toán cực trị. Tính khả thi của sáng kiến là rất cao do việc khai thác thông tin, tài liệu, sách tham khảo tương đối thuận lợi (đặc biệt với sự hỗ trợ của mạng Google). Trong những năm học tiếp theo sáng kiến này còn có thể áp dụng một cách rộng rãi và hiệu quả hơn nữa. 
 Khi đưa sáng kiến vào áp dụng tôi nhận thấy hiệu quả giảng dạy nâng lên rõ rệt. Tình trạng học sinh không nắm được bài không còn tồn tại. Học sinh hứng thú tích cực học tập, giờ học trở lên sôi nổi, hiệu quả. Từ việc hiểu dẫn đến những thay đổi hẳn trong hành vi ứng xử của các em. Ý thức của học sinh và khả năng thích ứng với cuộc sống, kĩ năng ứng biến của các em tốt hơn lên rất nhiều.
 Kết quả của việc áp dụng sáng kiến còn được minh chứng rõ nét hơn ở kết quả khảo sát học sinh qua mỗi năm học. Tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên. Kết quả này là sự khích lệ rất lớn với cả giáo viên và học sinh nhất là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Để mở rộng việc áp dụng sáng kiến và cũng là nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán, tôi đã đưa ra một số đề xuất, kiến nghị với các cấp lãnh đạo cũng như bản thân các đồng chí là giáo viên trực tiếp giảng dạy như:
- Tuyên truyền làm thay đổi nhận thức của những nhà giáo dục, giáo viên, phụ huynh học sinh và học sinh về vai trò và tầm quan trọng của việc tự học tự nghiên cứu ở môn Toán.
- Tổ chức các đợt hội thảo trao đổi kinh nghiệm, bồi dưỡng thường xuyên về phương pháp dạy – học bộ môn ở cấp huyện, cấp tỉnh.
- Tăng cường tài liệu tham khảo môn toán cho thư viện, các trang thiết bị dạy - học. 
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.
1.1. Hoàn cảnh khách quan.
	To¸n häc lµ mét trong nh÷ng m«n khoa häc c¬ b¶n , mang tÝnh trõu t­îng nh­ng m« h×nh øng dông cña nã rÊt réng r·i vµ gÇn gòi trong mäi lÜnh vùc cña ®êi sèng x· héi , trong khoa häc lÝ thuyÕt vµ khoa häc øng dông .
	D¹y häc sinh häc To¸n kh«ng chØ lµ cung cÊp kiÕn thøc c¬ b¶n , d¹y häc sinh gi¶i bµi tËp SGK, STK mµ quan träng lµ h×nh thµnh cho häc sinh ph­¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i c¸c d¹ng To¸n tõ ®ã gióp c¸c em tÝch cùc ho¹t ®éng , ®éc lËp s¸ng t¹o ®Ó dÇn hoµn thiÖn kü n¨ng , kü s¶o – hoµn thiÖn nh©n c¸ch .
	Trong To¸n häc , cùc trÞ lµ mét kh¸i niÖm rÊt hÑp nh­ng kiÕn thøc liªn quan ®Õn nã th× v« cïng réng r·i . Trong ch­¬ng tr×nh To¸n THCS nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ cã mÆt r¶i r¸c vµ hÇu kh¾p c¸c ph©n m«n Sè häc , §¹i sè vµ H×nh häc. Häc sinh tõ líp 6 ®Õn líp 9 ®Òu ®· gÆp nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ víi nh÷ng yªu cÇu nh­ : t×m sè x lín nhÊt sao cho..., t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ) cña biÓu thøc ..., x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó ®é dµi ( diÖn tÝch , chu vi ...) cña h×nh H nµo ®ã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ) ... Nh­ng khi gi¶i cã thÓ gi¸o viªn kh«ng d¹y ph­¬ng ph¸p tæng qu¸t hoÆc cã d¹y nh­ng häc sinh kh«ng ®­îc tiÕp thu theo hÖ thèng d¹ng to¸n . 
	Nãi chung khi gÆp to¸n cùc trÞ ®a phÇn häc sinh e ng¹i vµ lóng tóng trong c¸ch gi¶i .
1.2. Hoàn cảnh chủ quan .
	Trong nh÷ng n¨m thùc tÕ gi¶ng d¹y häc sinh tõ líp 6 ®Õn líp 9 , d¹y häc sinh «n tËp,«n thi HSG vµ «n thi THPT t«i nhËn thÊy sù cÇn thiÕt ph¶i h×nh thµnh mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c d¹ng bµi to¸n cùc trÞ vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®Ó d¹y häc sinh . T«i ®· dµnh nhiÒu thêi gian nghiªn cøu tµi liÖu , häc hái ®ång nghiÖp , t×m tßi thö nghiÖm víi c¸c ®èi t­îng häc sinh ®¹i trµ vµ «n thi . §­îc sù khuyÕn khÝch , gióp ®ì nhiÖt t×nh cña b¹n bÌ ®ång nghiÖp trong tr­êng vµ ë c¸c tr­êng b¹n, t«i ®· m¹nh d¹n nghiªn cøu b­íc ®Çu ®Ò tµi :
“ Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ trong to¸n THCS ” .
2. Cơ sở lí luận của vấn đề.
Trong To¸n häc , cùc trÞ lµ mét kh¸i niÖm rÊt hÑp nh­ng kiÕn thøc liªn quan ®Õn nã th× v« cïng réng r·i . Trong ch­¬ng tr×nh To¸n THCS nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ cã mÆt r¶i r¸c vµ hÇu kh¾p c¸c ph©n m«n Sè häc , §¹i sè vµ H×nh häc. Häc sinh tõ líp 6 ®Õn líp 9 ®Òu ®· gÆp nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ víi nh÷ng yªu cÇu nh­ : t×m sè x lín nhÊt sao cho..., t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ) cña biÓu thøc ..., x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó ®é dµi ( diÖn tÝch , chu vi ...) cña h×nh H nµo ®ã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ).
2.1. Sự phân bố kiến thức cực trị trong toán THCS.
Trong số học ta có: Bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất,..
Trong đại số ta có: Tính chất lũy thừa bậc chẵn, giá trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, một số bất đẳng thức cơ bản,.
Trong hình hoc ta có: Đường xiên đường vuông góc, đường gấp khúc và đường thẳng, đường kính và dây,
2.2. Một số yêu cầu cần có trong giải toán cực trị.
- Khi giải toán cực trị nhất thiết phải chỉ đủ hai bước: 
 Chỉ ra A m hoặc A M
 Xét dấu " = " xẩy ra khi nào?
Từ đó mới kết luận.
	- ViÖc gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®èi víi mçi ph©n m«n th× cã sù giíi h¹n tËp hîp sè ®Ó xÐt . Trong ch­¬ng tr×nh THCS chØ xÐt giíi h¹n trong tr­êng sè thùc R ®èi víi ph©n m«n §¹i sè vµ H×nh häc cßn ®èi víi ph©n m«n Sè häc th× chØ xÐt trªn vµnh sè nguyªn Z .
3. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 
 Trên thực tế, trước khi bắt tay vào nghiên cứu viết sáng kiến này tôi nhận thấy việc dạy và học môn Toán đa số còn thụ động. Giáo viên giảng dạy hầu hết chỉ căn cứ vào các thông tin đã có trong sách giáo khoa. Trong khi đó kiến thức cực trị được đề cập r¶i r¸c vµ hÇu kh¾p c¸c ph©n m«n Sè häc , §¹i sè vµ H×nh häc , việc khai thác đòi hỏi phải có hệ thống. Phương pháp giảng dạy chủ yếu là gặp bài nào giải quyết bài đó. Phương pháp và hoạt động dạy học còn hết sức đơn điệu chưa đưa được yêu cầu đổi mới giảng dạy.
 Nội dung kiến thức cực trị là một trong những nội dung có phần mang tính trừu tượng và đòi hỏi tư duy logic cao. Do vậy người dạy và người học phải có khối kiến thức cơ bản chắc chắn. Xong một vấn đề là cả người dạy và người học chưa tích cực tìm hiểu nội dung kiến thức này.
 Về phía học sinh tính tự học chưa có mấy, dẫn đến các em hết sức thụ động trong giờ học, khả năng phân tích, tư duy và liên kết còn hạn chế. Theo một số khảo sát nhanh tại trường về một số mặt 
 - Có khoảng 70% học sinh rất ngại khi học phần cực trị, không muốn nói là sợ.
 - 80% các em chưa biết cách lập luận và lập luận thiếu chặt chẽ.
 - Khảo sát 100 học sinh (cho làm một đề kiểm tra theo hướng đổi mới): chỉ có 5% học sinh đạt điểm 8 trở lên.
 Trước thực trạng dạy và học kiến thức cực trị như đã nêu trên tôi đã cố gắng nghiên cứu nhằm đưa ra giải pháp khắc phục. Đó chính là việc nghiên cứu và đưa vào áp dụng sáng kiến " Phương pháp giảỉ toán cực trị trong toán THCS ".
	4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện.
	Bµi to¸n cùc trÞ xuÊt ph¸t tõ thùc tiÔn vµ trong khi gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n lín . Cùc trÞ lµ tªn gäi chung cho nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ( GTLN) vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ( GTNN) . Trong lÝ thuyÕt To¸n häc hiÖn ®¹i th× c¸c ph©n m«n Sè häc , §¹i sè , H×nh häc ®Òu cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa qua tËp hîp . 	Theo lÝ thuyÕt Gi¶i tÝch cæ ®iÓn , xÐt tËp hîp sè thùc xE R , khi ®ã nÕu E kh«ng rçng vµ bÞ chÆn th× tån t¹i cËn trªn ®óng M cña E ( M = supE ) hoÆc cËn d­íi ®óng m cña E ( m = infE ) hoÆc c¶ hai . Tuy nhiªn cã thÓ c¶ M vµ m ®Òu kh«ng thuéc E . Khi ME ( hoÆc mE) ta viÕt M = maxE ( hoÆc m = minE ) ®©y lµ c¸ch viÕt t¾t theo ch÷ Latin ( max = maximum, min = minimum ) mµ trong tr­êng phæ th«ng ta th­êng gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt ( GTLN ) vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ( GTNN ) .
	Theo quan ®iÓm trªn viÖc t×m maxE = M hoÆc minE = m ph¶i bao gåm ®ång thêi c¶ hai ®iÒu kiÖn :
 i) M = E hoÆc m = E .
 ii) x E ®Ó M = E hoÆc m = E .
( §èi víi ph©n m«n H×nh häc ta hiÓu x lµ mét ®iÒu kiÖn rµng buéc mµ ®Ò bµi yªu cÇu)
	Sau ®©y lµ nh÷ng d¹ng bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p cô thÓ ®èi víi tõng ph©n m«n xÐt theo quan ®iÓm trªn .
	4.1. Cùc trÞ sè häc .
4.1.1.phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d­ .
4.1.1.1 LÝ thuyÕt c¬ b¶n .
4.1.1.1.1. §Þnh nghÜa .
 * PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d­ .
 Cho a , b Z , b > 0 . Chia a cho b ta cã : a chia hÕt cho b hoÆc a kh«ng chia hÕt cho b . 
 NÕu a chia hÕt cho b ta kÝ hiÖu lµ a b ta cßn nãi b chia hÕt a hay b lµ ­íc cña a vµ kÝ hiÖu lµ b | a .
 NÕu a kh«ng chia hÕt cho b ta ®­îc th­¬ng gÇn ®óng q vµ d­ lµ r , ta viÕt : 
 a = bq + r , 0 < r < b .
 * ¦íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt .
	Cho hai sè nguyªn d­¬ng a , b . 
 ­íc chung lín nhÊt cña a vµ b ®­îc kÝ hiÖu lµ ¦CLN ( a,b) hay ( a , b ) . Sè d gäi lµ ­íc chung cña a vµ b khi vµ chØ khi d lµ ­íc cña ¦CLN(a ,b) :
 d | a vµ d | b d | (a,b) .
	Béi chung nhá nhÊt cña a vµ b ®­îc kÝ hiÖu lµ BCNN(a,b) hay [a,b] . Sè m lµ BCNN(a,b) khi vµ chØ khi m lµ béi cña BCNN(a,b) :
m a vµ m b m [a,b] .
	Hai sè ®­îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau khi vµ chØ khi (a,b) = 1 .
	Tuy nhiªn , trong viÖc t×m ¦CLN cña hai sè d­¬ng a, b ( a>b) ng­êi ta cßn cã thÓ sö dông thuËt to¸n Euclide nh­ sau :
 a = bq (a,b) = b .
 a = bq + r ( r 0 ) (a,b) = (b,r) 
 b = rq1 + r1 ( r1 0) (b,r) = (r,r1) 
 r = r1q2 + r2 (r2 0) (r,r1) = (r1,r2)
 .........................................................
 ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) .
4.1.1.1.2. Mét sè ®Þnh lÝ quan träng th­êng dïng .
	 (ca,cb) = c(a,b) .
 ( víi c =¦C(a,b) ) .
	 a.c b vµ (a,b) = 1 c b .
	 c a vµ c b vµ (a,b) = 1 c a.b .
 * §Þnh lÝ vÒ phÐp chia cã d­ .
 Víi mäi cÆp sè tù nhiªn a,b ( b0) bao giê còng tån t¹i duy nhÊt cÆp sè q , r sao cho : a = bq + r ( víi ) .
 * §Þnh lÝ .
 Trong sù ph©n tÝch sè n! ra thõa sè nguyªn tè ( n! = 1.2.3....n) .
th× sè mò ai cña thõa sè pi nµo ®ã sÏ lµ :
 ( lµ kÝ hiÖu phÇn nguyªn cña sè x , ®ã lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v­ît qu¸ x ) .
4.1.1.2. Mét sè ph­¬ng ph¸p th­êng dïng trong gi¶i bµi to¸n chia hÕt .
 * §Ó chøng minh A(n) ( n Z ) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p , ta cã thÓ xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia n cho p .
 * §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho hîp sè m ta th­êng ph©n tÝch m ra thõa sè nguyªn tè . Gi¶ sö m = pq , ta t×m c¸ch chøng minh A(n) p vµ A(n) q suy ra A(n) A(n) pq do (p,q) = 1 .
NÕu (p,q) 1 th× ta ph©n tÝch A(n) råi chøng minh tÝch ®ã chia hÕt cho m . Ta còng cã thÓ ph©n tÝch A(n) thµnh tæng nhiÒu sè h¹ng cïng chia hÕt cho m .
 * Ta th­êng sö dông kÕt qu¶ sau :
 NÕu sè d­ khi chia a cho b>0 lµ r ( 01) cho b lµ sè d­ khi chia rn cho b ( sè d­ nµy b»ng rn nÕu rn < b ) .
4.1.1.3. Bµi tËp ¸p dông .
* Qui ­íc :
 NÕu a lµ sè lín nhÊt trong c¸c sè a ,b ,c, d th× ta kÝ hiÖu max(a,b,c,d) = a .
 NÕu b lµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè a ,b ,c, d th× ta kÝ hiÖu min(a,b,c,d) = b .
Bµi sè 1 :
 T×m sè nguyªn d­¬ng n nhá nhÊt sao cho 2n – 1 7 .
Gi¶i :
 XÐt phÐp chia sè nguyªn n cho 3 th× n chØ cã mét trong ba d¹ng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k Z) .
Víi n = 3k ta cã : 2n – 1 = 8k – 1 7 .
Víi n = 3k+1 ta cã : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 kh«ng chia hÕt cho 7 .
Víi n = 3k+2 ta cã : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 kh«ng chia hÕt cho 7 .
VËy víi n 3 th× 2n – 1 7 mµ n lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt nªn n = 3 .
Bµi sè 2 :
 T×m sè tù nhiªn k lín nhÊt tho¶ m·n : ( 1994!)1995 1995k .
Gi¶i :
Ta cã : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k . Ta cÇn t×m sè mò lín nhÊt cña mçi thõa sè 3 , 5 , 7 ,19 trong sè (1994!)1995 .
 Ta cã : 
 Sè mò cña 3 trong 1994! lµ :
 .
T­¬ng tù : Sè mò cña 5 trong 1994! lµ : 495 .
Sè mò cña 7 trong 1994! lµ : 329 .
Sè mò cña 19 trong 1994! lµ : 109 .
 VËy trong 1994! cã c¸c thõa sè : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 .
Suy ra : (1994!)1995 = (3992 . 5495 . 7329 . 19109. M )1995 . Víi M lµ tÝch c¸c thõa sè kh«ng chøa c¸c thõa sè nguyªn tè 3 ; 5 ; 7 ; 19 .
 Víi k = 109.1995 th× ( 1994!)1995 1995k .
Víi k = 109.1995 + 1 th× ( 1994!)1995 kh«ng chia hÕt cho 1995k .
VËy k = 109.1995 lµ sè tù nhiªn lín nhÊt cÇn t×m .
Bµi sè 3 .
 T×m GTLN vµ GTNN cña n ®Ó P = (n+5)(n+6) 6n .
Gi¶i :
 Ta xÐt 2 tr­êng hîp :
* Víi n>0 :
 Ta ph¶i t×m n ®Ó P = (n+5)(n+6) 6n .
 Ta cã : P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 – n + 30 ) .
 P 6n ( n2 – n + 30 ) 6n ; n | n2 – n nªn n | 30 , 6 | 30 nªn 6 | n2 – n = n(n-1) .
 n(n-1) lµ sè ch½n v× lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n-1) 3 n 3 hoÆc n-1 3 .
VËy P 6n th× n lµ ­íc cña 30 vµ lµ béi cña 3 hoÆc béi cña 3 céng thªm 1 n = {1;2;3;6;10;15;30} . Thay c¸c gi¸ trÞ trªn vµo P = ( n+5)(n+6) vµ 6n th× ta cã n = {1;3;10;30} (*) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n .
* Víi n< 0 :
§Æt m = - n . Ta t×m m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6) -6m . Gi¶i nh­ trªn ta t×m ®­îc n = { -2;-5;-6;-15} (**) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n .
KÕt hîp (*) vµ (**) ta cã n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} .
VËy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30 .
min n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15 .
Bµi sè 4 .
 Cho A = m+n vµ B = m2 + n2 trong ®ã m,n lµ nh÷ng sè tù nhiªn nguyªn tè cïng nhau. T×m max (¦CLN) ( min(BCNN) ) cña A vµ B .
Gi¶i :
 Gäi d = (m+n,m2+n2) (m+n)2d (m+n)2 – (m2 + n2) = 2mn d d lµ ­íc chung cña m+n vµ 2mn (*) .
(m,n) = 1 (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = 1 (**) .
Tõ (*) vµ (**) 2 d d = 1 hoÆc d = 2 hay d = {1,2} .
VËy max d = max ( 1,2) = 2 .
min d = min (1,2) = 1 .
4.1.1.4 . Bµi tËp tù luyÖn .
 T×m sè nguyªn a lín nhÊt vµ nhá nhÊt sao cho 100 < a < 150 ; a chia 5 d­ 2 vµ a chia 7 d­ 3 .
4.1.2.§ång d­ thøc vµ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ .
4.1.2.1. LÝ thuyÕt c¬ b¶n .
4.1.2.1.1. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt ®ång d­ thøc .
 * §Þnh nghÜa ®ång d­ thøc .
Cho mét sè nguyªn d­¬ng m . NÕu a hai sè nguyªn a vµ b cã cïng sè d­ khi chia cho m ( tøc lµ m – n chia hÕt cho m ) th× ta nãi r»ng a ®ång d­ víi b modun m vµ ta kÝ hiÖu : a b ( mod m ) . §©y lµ mét ®ång d­ thøc víi a lµ vÕ tr¸i , b lµ vÕ ph¶i .
Nãi riªng , a 0 ( mod m ) nghÜa lµ a chia hÕt cho m .
Trong tr­êng hîp th× a b ( mod m ) cã nghÜa lµ chia a cho m cã d­ lµ b 
 * . C¸c tÝnh chÊt cña ®ång d­ thøc .
 Ta cã : a a víi a .
 a b ( mod m) b a ( mod m) 
 a b ( mod m) vµ b c ( mod m) a c ( mod m) .
 NÕu a b ( mod m) vµ c d ( mod m) th× a c b d ( mod m) ; ac bd ( mod m) . 
 Suy ra : 
i) a b ( mod m) a c b c ( mod m) 
ii) a+c b (mod m ) a b-c ( mod m) 
iii) a b ( mod m) na nb ( mod m)
iv) a b ( mod m) an bn ( mod m) .
 * a b (mod m) (mod m) víi d lµ ­íc chung cña a vµ b vµ (d,m) = 1
 * NÕu a b ( mod m) vµ c>0 th× ac bc ( mod mc) .
NÕu d lµ ­íc chung d­¬ng cña a,b,m th× ax b ( mod m) ( mod ) .
4.1.2.1.2. §Þnh nghÜa ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ .
 * §Þnh nghÜa ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn .
 Ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn lµ ®ång d­ thøc cã d¹ng : 
ax b ( mod m) víi a kh«ng chia hÕt cho m .
Trong ®ã a,b,m>0 lµ nh÷ng sè ®· biÕt , x lµ Èn .
 * TÝnh chÊt .
 - Ph­¬ng tr×nh ®ång d­ ax b ( mod m) cã nghiÖm duy nhÊt nÕu (a,m) = 1 .
( ta hiÓu ph­¬ng tr×nh ®ång d­ ax b ( mod m) cã nghiÖm duy nhÊt nghÜa lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Òu thuéc mét líp c¸c sè ®ång d­ víi b modun m ) .
 - B»ng c¸c phÐp biÕn ®æi cña dång d­ thøc bao giê ta còng ®­a ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt vÒ d¹ng ax b ( mod m) víi m>a>0 vµ m>b0 .
 - §Þnh nghÜa hÖ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn .
HÖ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn lµ hÖ c¸c ®ång d­ thøc cã d¹ng :
 B»ng c¸ch biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng c¸c ®ång d­ thøc ta cã thÓ qui hÖ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn vÒ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ bËc nhÊt mét Èn .
4.1.2.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®èi víi ph­¬ng tr×nh ®ång d­ .
	Tõ lÝ thuyÕt ë trªn , ta biÕt r»ng lu«n ®­a ®­îc ph­¬ng tr×nh ( hÖ ph­¬ng tr×nh ) ®ång d­ vÒ d¹ng ax b ( mod m) . Do ®ã vÊn ®Ò ë ®©y lµ tõ ®iÒu kiÖn ®Ò bµi ta chuyÓn vÒ ph­¬ng tr×nh ( hÖ ph­¬ng tr×nh ) ®ång d­ mét Èn , biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng vÒ ph­¬ng tr×nh d¹ng ax b ( mod m) råi theo ®iÒu kiÖn bµi to¸n ta suy ra GTLN ( GTNN) cña Èn cÇn t×m .
4.1.2.3. Bµi tËp ¸p dông .
Bµi sè 1.
T×m sè nguyªn x lín nhÊt , nhá nhÊt tho¶ m·n : - 10< x<25 vµ 17x 13(mod11) 
Gi¶i :
 Ta cã :
17x 13(mod11) 6x 2 ( mod 11) 3x 1 ( mod 11) 
 3x = 1 + 11t ( t Z) .
 Do - 10<x<25 nªn t = { -2,-1,0,1,2,3,4,5,6} x = {-3,4,15} .
 VËy: max x = max(-3,4,15) = 15.
 min x = min ( -3,4,15) = -3 .
Bµi sè 2 .
 T×m sè häc sinh lín nhÊt trong mét s©n tr­êng THCS biÕt khi cho häc sinh xÕp hµng 3,5,7 th× sè lÎ hµng cuèi lÇn l­ît lµ 2,3,4 vµ ®o¸n chõng sè häc sinh ®ã kh«ng thÓ v­ît qu¸ 900 em .
Gi¶i :
 Theo ®Ò bµi ta ph¶i gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®ång d­ sau:
 x 2 ( mod 3 ) ( 1)
 x 3 ( mod 5 ) ( 2) 
 x 4 ( mod 7 ) ( 3)
 HÖ (1) , (2) cho ta ph­¬ng tr×nh : x 8 (mod 15) (4)
 Tõ (4) x = 8 + 15k (*) thay vµo (3) ta cã : 8 + 15k 4 ( mod 7) 
 15k -4 ( mod 7) k 3 ( mod 7) k = 3 + 7t . Do (*) k 59 
 3 +7t 59 t 8 .
 §Ó x ®¹t max th× k vµ do ®ã t ®¹t max t = 8 k = 59 x = 893 .
VËy sè häc sinh lín nhÊt cã thÓ cã trong tr­êng lµ 893 em .
4.1.2.4 . Bµi tËp tù luyÖn .
 T×m sè tù nhiªn x lín nhÊt , nhá nhÊt tho¶ m·n : x 1000 vµ khi chia x cho 3,5,9,11 th× ®­îc sè d­ lÇn l­ît lµ 1, 3 ,4 ,9 .
4.1.3 Sè nguyªn tè .
4.1.3.1. LÝ thuyÕt c¬ b¶n .
4.1.3.1.1. §Þnh nghÜa .
 - Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 , chØ cã hai ­íc lµ 1 vµ chÝnh nã .
C¸c sè cßn l¹ gäi lµ hîp sè . Tõ ®ã suy ra , sè 0 vµ sè 1 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè , sè 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt vµ nhá nhÊt .
4.1.3.1.2. C¸c tÝnh chÊt .
 - ¦íc sè nguyªn tè nhá nhÊt cña mét hîp sè N lµ sè kh«ng v­ît qu¸ .
Tõ ®ã suy ra : nÕu sè N > 1 kh«ng cã mét ­íc nguyªn tè nµo tõ 2 cho ®Õn th× N lµ mét sè nguyªn tè .
 - Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng ax + b víi (a,b) = 1 .
 - Mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n 1 , mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n 1 ( n > 0 ) .
4.1.3.2. Ph­¬ng ph¸p t×m cùc trÞ víi sè nguyªn tè .
 Kh«ng cã ph­¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp vÒ sè nguyªn tè , ta th­êng ph©n tÝch thµnh d¹ng tÝch tõ d÷ kiÖn ®Ò bµi råi sö dông tÝnh chÊt chia hÕt ®Ó läc hoÆc cã thÓ quÐt c¸c tr­êng hîp nÕu sè lÇn quÐt cã thÓ kiÓm so¸t ®­îc .
4.1.3.3. Bµi tËp ¸p dông .
Bµi sè 1 .
 T×m sè lín nhÊt , nhá nhÊt cã hai ch÷ sè sao cho lµ sè nguyªn tè .
Gi¶i :
 V× a,b cã vai trß nh­ nhau nªn ta gi¶ sö a>b . Gäi p = víi p nguyªn tè 
 ab p a p hoÆc b p p = 2,3,5 hoÆc 7 ab=pa-pb (a+p)(p-b)=p2 
 .
* Víi p=2 ta cã sè =21,22.
* Víi p=3 ta cã sè = 62,26.
* Víi p=5 vµ p=7 th× a cã hai ch÷ sè nªn lo¹i .
={21,22,26,62} .
VËy max = max ( 21,22,26,62) = 62 .
min= min( 21,22,26,62)=21 .
Bµi sè 2 .
 T×m sè nguyªn tè p lín nhÊt , nhá nhÊt sao cho 13p+1 lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn .
Gi¶i :
 Víi sè n tù nhiªn , theo ®Ò bµi ta ph¶i t×m sè p sao cho : 13p = n3 – 1 
13p = ( n-1)(n2+n+1) . Do (13,p)=1 nªn n-1=13 hoÆc n2+n+1 = 13 n= 14 hoÆc n=3 p=211 hoÆc p=2 .
VËy max p = 211, min p = 2 .
Bµi sè 3 .
 T×m k ®Ó d·y : k +1,k+2,....., k+9,k+10 cã nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt .
Gi¶i :
Trong 10 sè liªn tiÕp lu«n cã 5 sè ch½n ( trong ®ã cã nhiÒu nhÊt mét sè nguyªn tè lµ 2) . VËy cã kh«ng qu¸ 6 sè nguyªn tè .
Víi k=0 th× tõ 1 ®Õn 10 cã 4 sè nguyªn tè ( 2,3,5,7) .
Víi k=1 th× tõ 2 ®Õn 11 cã 5 sè nguyªn tè ( 2,3,5,7,11) .
Víi k>1 th× tõ 3 trë ®i kh«ng cã sè ch½n nµo nguyªn tè , trong 5 sè lÎ liªn tiÕp cã mét sè lµ béi cña 3 do ®ã trong d·y cã Ýt h¬n 5 sè nguyªn tè . 
VËy víi k=1 th× d·y cã nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt .
4.1.3.4. Bµi tËp tù luyÖn .
 T×m sè nguyªn tè lín nhÊt kh«ng v­ît qu¸ 98 cã d¹ng p3 + 2 .
4.1.4 – Ph­¬ng tr×nh DIOPHANTE .
4.1.4.1. LÝ thuyÕt c¬ b¶n .
4.1.4.1.1.§Þnh nghÜa .
 Mét ph­¬ng tr×nh cã nhiÒu Èn sè víi tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu lµ nh÷ng sè nguyªn vµ ta ph¶i t×m nghiÖm nguyªn cña nã ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh DIOPHANTE .
Nãi chung ph­¬ng tr×nh DIOPHANTE cã nhiÒu nghiÖm nguyªn nªn ta cßn gäi lµ ph­¬ng tr×nh v« ®Þnh .
VÝ dô : 7x + 4y = 10 .
x2+y2 = z2
x3 – 7y2 = 1 ....
4.1.4.1.2.Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt .
 * Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .
 * §Þnh nghÜa .
 Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : ax + by = c trong ®ã a,b,c lµ nh÷ng sè nguyªn , a vµ b ®ång thêi kh¸c 0 .
 * Mét sè tÝnh chÊt .
 - Ph­¬ng tr×nh ax + by = c cã nghiÖm nguyªn khi vµ chØ khi (a,b)=1 .
 - NÕu ph­¬ng tr×nh ax + by = c cã mét nghiÖm nguyªn (x0,y0) th× nã cã v« sè nghiÖm nguyªn d¹ng :
 trong ®ã t Z .
 * Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt n Èn (n>2).
 Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt n Èn (n>2) lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : 
a0+ a1x1+a2x2+......+anxn =0 trong ®ã ai Z ( i = 0,1,..,n) .
Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt n Èn (n>2) cã nghiÖm nguyªn khi vµ chØ khi c¸c hÖ sè ai ®«i mét nguyªn tè cïng nhau .
 * §Þnh lÝ lín Fermat .
 Fermat ®· chøng minh ®­îc r»ng : Víi mäi sè tù nhiªn n >2 th× ph­¬ng tr×nh x2+y2=z2 kh«ng cã nghiÖm nguyªn d­¬ng .
Khi n = 2 th× nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh lµ : 
trong ®ã m,p,q lµ nh÷ng sè nguyªn bÊt k× , (p,q)=1 , p,q ch½n lÎ kh¸c nhau .
 * Ph­¬ng tr×nh PELL.
 lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x2 – Dy2 =1 .
4.1.4.2. Ph­¬ng ph¸p t×m cùc trÞ víi ph­¬ng tr×nh DIOPHANTE .
 Nh­ trªn ®· tr×nh bµy , ph­¬ng tr×nh DIOPHANTE lµ ph­¬ng tr×nh v« ®Þnh , thËm chÝ nhiÒu ph­¬ng tr×nh ch­a t×m ra lêi gi¶i tæng qu¸t . Do ph¹m vi khu«n khæ ®Ò tµi nªn t«i kh«ng chuyªn s©u vµo phÐp gi¶i ph­¬ng tr×nh mµ chØ giíi h¹n víi mét kho¶ng nguyªn cña Èn ®Ó t×m max , min theo d÷ kiÖn ®Ò bµi vµ chØ víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n . Ph­¬ng ph¸p gi¶i chung cho nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n nµy lµ tõ d÷ kiÖn ®Ò bµi ta thiÕt lËp ph­¬ng tr×nh råi sö dông tÝnh chÊt chia hÕt hoÆc ®ång d­ thøc hoÆc kiÕn thøc liªn ph©n sè ®Ó t×m nghiÖm riªng hoÆc nghiÖm tæng qu¸t . Trªn kho¶ng nguyªn x¸c ®Þnh ta t×m ®­îc max , min tho¶ ®Ò bµi .
4.1.4.3. Bµi tËp ¸p dông .
Bµi sè 1 .
 Cã ba ng­êi ®i c©u c¸ . Trêi ®· tèi nªn hä bá c¸ trªn bê s«ng råi mçi ng­êi t×m mét n¬i ®Ó ngñ . Ng­êi thø nhÊt thøc dËy ®Õm sè c¸ thÊy chia 3 th× thõa 1 nªn nÐm 1 con xuèng s«ng råi x¸ch 1/3 vÒ nhµ . Ng­êi thø 2 thøc dËy t­ëng hai b¹n cßn ngñ , ®Õm sè c¸ chia 3 thÊy thõa 1 con nªn nÐm 1 con xuèng s«ng råi x¸ch 1/3 vÒ nhµ . Ng­êi thø 3 thøc dËy t­ëng m×nh dËy sím nhÊt ®Õm sè c¸ chia 3 thÊy thõa 1 con nªn nÐm 1 con xuèng s«ng råi x¸ch 1/3 vÒ nhµ . Hái hä c©u ®­îc nhiÒu nhÊt bao nhiªu con c¸ biÕt sè c¸ kh«ng v­ît qu¸ 170 con .
Gi¶i :
 Gäi sè c¸ c©u ®­îc cña ba ng­êi lµ x vµ y lµ sè c¸ cßn l¹i khi c¶ ba ®· lÊy ®i phÇn cña m×nh th× ta cã ph­¬ng tr×nh :
 ( x,y N vµ x<170) .
¸p dông thuËt to¸n Euclide ta cã nghiÖm riªng lµ : x0=-10.38 =-380, y0=-3.38=-144
 ( t Z)
 Do x<170 nªn t lín nhÊt lµ 20 khi ®ã x = 160 , y = 16 .
VËy sè c¸ lín nhÊt ba ng­êi c©u ®­îc lµ 160 con .
Bµi sè 2 .
 T×m sè tù nhiªn x nhá nhÊt sao cho x 9, x+1 25 vµ x+2 4 .
Gi¶i :
 Do x 9, x+1 25 nªn u,v N : x = 9u , x+1 = 25v 25v-9u = 1 . ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm tæng qu¸t lµ v = 4 + 9t , u = 11 + 25t x = 99 + 225t ( t N) . 
Ta l¹i cã : x+2 = 4y 101 + 225t = 4y t=-101 +4k x = -22626 + 900k .
Do t > 0 nªn k 26 min x = -20286 khi k = 26 .
Bµi sè 3 .
 T×m sè nghiÖm nguyªn d­¬ng lín nhÊt cña ph­¬ng tr×nh :
 .
Gi¶i :
 Víi mäi bé (x,y,z) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ta gi¶ sö th× : 
 nghÜa lµ x lÊy mét sè h÷u h¹n gi¸ trÞ kh«ng nhiÒu h¬n 2.1991 . Víi mçi gi¸ trÞ cña x ta cã :
 .
Víi x,y ®· biÕt th× cã nhiÒu nhÊt lµ mét gi¸ trÞ t­¬ng øng cña z .
VËy cã nhiÒu nhÊt lµ 23.1991 nghiÖm .
4.1.4.4. Bµi tËp tù luyÖn .
Bµi sè 1 .
Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 200 ®Õn 500 t×m sè lín nhÊt , sè nhá nhÊt chia cho 4,5,7 lÇn l­ît cã d­ lµ 3,4,5.
Bµi sè 2.
T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt sao cho khi chia nã cho 7,5,3,11 th× ®­îc d­ t­¬ng øng lµ 3,2,1,9 .
4.1.5. Mét sè bµi to¸n cùc trÞ kh¸c .
Bµi sè 1 .
 T×m GTLN, GTNN cña tÝch xy biÕt x vµ y lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng tho¶ m·n : 
x+y = 2005 .
Gi¶i :
 Ta cã 4xy = (x+y)2 – (x-y)2 = 20052 – (x-y)2 .
Gi¶ sö x>y ( kh«ng thÓ cã x = y) . Ta cã : xy lín nhÊt x-y nhá nhÊt ; xy nhá nhÊt x-y lín nhÊt .
Do nªn . Ta cã min(x-y) = 1 x = 1003 ; y=1002 .
max (x-y) = 2003 x = 2004; y=1 .
Do ®ã : max(xy) = 1005006 x=1003; y =1002 .
min(xy) = 2004 x=2004 ; y= 1 .
Bµi sè 2 .
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x2+4y biÕt r»ng x,y lµ c¸c sè tù nhiªn vµ A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng .
Gi¶i :
 V× A kh«ng chÝnh ph­¬ng nªn A>1 .
XÐt A = 2 ta cã 2=x2+4y nªn x ch½n . Khi ®ã vÕ ph¶i chia hÕt cho 4 , vÕ tr¸i kh«ng chia hÕt cho 4 nªn lo¹i .
XÐt A=3 ta cã : 3 = x2+4y nªn x lÎ . Khi ®ã vÕ ph¶i chia 4 d­ 1, vÕ tr¸i chia 4 d­ 3 nªn lo¹i .
XÐt A = 5 ta cã : 5=x2 + 4y , tån t¹i x,y tho¶ m·n ®¼ng thøc trªn nh­ x=3 ,y=-1 .
VËy GTNN cña A lµ 5 .
Bµi sè 3 .
Cho d·y (1) gåm 50 sè h¹ng : 20+12; 20+22 ; 20+32 ;....; 20+492; 20+502 .
XÐt d·y (2) gåm 49 sè lµ ¦CLN cña mçi sè h¹ng cña d·y (1) , kh«ng kÓ sè h¹ng cuèi 
cïng víi sè h¹ng ®øng liÒn sau nã trong d·y Êy . T×m sè lín nhÊt trong d·y thø (2) .
Gi¶i :
 Ta cã : 49 sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (1) cã d¹ng : 20+n2 ( n=1,2,..,49) . Gäi d lµ sè bÊt k× cña d·y (2) , d =¦CLN(20+n2, 20+(n+1)2) .
Ta cã : (20 +n2 +2n +1)-(20+n2) d 2n+1d 2(20+n2)-n(2n+1) d 40-nd
 2(40-n)+(2n+1) d 81d .
Do ®ã d 81 . Víi d = 81 ta cã 40-n81 . Do n {1,2,3,...,49} nªn n =40 .
VËy sè lín nhÊt trong d·y (2) lµ 81 , ®ã lµ ¦CLN(20+402,20+412) .
Bµi sè 4.
 T×m sè chÝnh ph­¬ng lín nhÊt biÕt r»ng nÕu xo¸ hai ch÷ sè tËn cïng cña nã ( hai ch÷ sè nµy kh«ng cïng b»ng 0 ) , th× ta ®­îc mét sè chÝnh ph­¬ng .
Gi¶i :
 Gäi sè chÝnh ph­¬ng cÇn t×m lµ n2 ta cã : n2 = 100A +b ( A lµ sè tr¨m , ) .
Theo ®Ò bµi , 100A lµ sè chÝnh ph­¬ng nªn A lµ sè chÝnh ph­¬ng .
§Æt A = a2 ( a N ) . Ta cÇn t×m GTLN cña a .
 Ta cã : n2 >100a2 n>10a n 10a+1 .
Do b 99 nªn 20a+1 99 a4 .
Ta cã : n2 = 100a2+b 1600+99 = 1699 . KiÓm tra l¹i : 422 = 1764 , 412 = 1681 .
Sè chÝnh ph­¬ng lín nhÊt ph¶i t×m lµ 1681 = 412 .
	4.2.Cùc trÞ ®¹i sè .
4.2.1 Ph­¬ng ph¸p t×m cùc trÞ theo tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai .
4.2.1.1. LÝ thuyÕt c¬ b¶n .
 Ta ®· biÕt A2 0 ( -A2 0) víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh E cña A .
 Nh­ vËy nÕu biÓu thøc M ( nguyªn hoÆc ph©n ) ®­a ®­îc vÒ d¹ngM=A2 + k ( hoÆc 
M=m-A2) th× râ rµng supM= m ( infM=k) . NÕu tån t¹i gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó M = k 
( hoÆc M=m) th× maxM = m ( min M = k) .
4.2.1.2.. Bµi tËp ¸p dông .
Bµi sè 1 .
 T×m max ( min) cña c¸c biÓu thøc sau :
a) A = 2x2 - 8x+1 .
 b) B = -5x2 - 4x +1 .
Gi¶i:
 a) Ta cã : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 – 7 -7 . DÊu = x¶y ra khi x=4. VËy minA=-7 khi x=4 .
 b) Ta cã : B = -5x2 - 4x +1 = . DÊu = x¶y ra khi x=-. Do ®ã maxB = khi x=-.
L­u ý : Khi chuyÓn biÓu thøc cÇn t×m max , min cã thÓ häc sinh m¾c sai lÇm . 
VÝ dô : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9 - 9 v× (x-1)2 0 vµ (x-3)2 0 minA = -9 nh­ng kh«ng tån t¹i x tho¶ m·n ®iÒu ®ã . Ta cÇn lµm nh­ Bµi 1a) .
Bµi sè 2 .
T×m min cña C = .
Gi¶i :
 §Ó C tån t¹i th× ta ph¶i cã : x 2006 (*) .
 Ta cã : 
C = = x – 2006 - + + = 
VËy min C = ( tho¶ (*)) .
Bµi sè 3.
T×m min cña D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) .
Gi¶i :
 TËp x¸c ®Þnh cña D lµ IR .
 Ta cã : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1 - 1 .
DÊu = x¶y ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0 ( x2 + 5x + 5) = 0 
hoÆc . VËy minD = - 1 hoÆc . 
Bµi sè 4 .
T×m min cña E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 .
Gi¶i :
 TËp x¸c ®Þnh cña E lµ IR2 .
 Ta cã : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1 .
V× ( x-y)2 0 x,y vµ (y-2)2 0 y nªn E 1 x,y .
DÊu = x¶y ra khi .
VËy minE = 1 khi x=y=2 .
Bµi sè 5 .
T×m min cña F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012 .
Gi¶i :
 TËp x¸c ®Þnh cña F lµ IR3 .
 Ta cã : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006 .
V× : ( x-y+z-1)2 0 x,y,z , ( x+z-2)2 0 x,z vµ ( z-1)2 0 z nªn F 2006 x,y,z .
DÊu = x¶y ra khi . 
VËy min F = 2006 x=y=z=1 .
Bµi sè 6 .
T×m min cña G = .
Gi¶i :
Ta cã : G = . Do (3x-1)2 0 x 
 ( 3x-1)2+4 4 x G .
min G = 3x – 1 = 0 x = .
Bµi sè 7 .
T×m min cña H = .
Gi¶i :
TËp x¸c ®Þnh cña H lµ IR\ {1} .
Ta cã : H = min H = 2 x= 2 .
Bµi sè 8 .
T×m max , min cña I = .
Gi¶i :
* T×m min I .
Ta cã : I = . Min I = -1 x=2 .
* T×m max I .
Ta cã : I = .Max I = 4 .
Bµi sè 9 .
T×m min cña K = x3 + y3 + xy biÕt r»ng x+y=1 .
Gi¶i :
Ta cã : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2 . 
Cã nhiÒu c¸ch gi¶i ë ®©y , vÝ dô :
K = x2 + (1-x)2 = . Min K = khi .
Bµi sè 10 .
T×m min cña L = x2 + y2 + z2 biÕt r»ng x + y + z = 3 .
Gi¶i:
Ta cã : x + y + z = 3 ( x+ y + z)2 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9 
 L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*) .
Ta lu«n cã : x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x,y,z , dÊu = khi x=y=z nªn tõ (*) suy ra :
3L 9 L 3 min L = 3 khi x=y=z = 1 .
4.2.1.3. Bµi tËp tù luyÖn .
Bµi sè 1 .
T×m